$course$/QCM de NSI/Première/Logique booléenne et fonctions logiques Opérateurs logiques (ET, OU, NON, XOR, NAND), tables de vérité,
propriétés algébriques de l'algèbre de Boole, lois de De Morgan,
simplification d'expressions et lien avec la programmation Python.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q01 : Comportement de l'opérateur OU Quelle est la valeur de sortie d'un opérateur OU inclusif ($a + b$)
si l'entrée $a$ vaut $1$ et l'entrée $b$ vaut $1$ ?

]]> Le OU inclusif est défini par la table de vérité :
$(0,0)\to 0$, $(0,1)\to 1$, $(1,0)\to 1$, $(1,1)\to 1$.
Il s'oppose au OU exclusif (XOR) qui renvoie $0$ pour $(1,1)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La sortie vaut $2$

]]> Erreur : confusion avec une addition arithmétique. La logique
booléenne ne manipule que les valeurs $0$ et $1$, jamais $2$.

]]> La sortie vaut $0$

]]> Erreur : confusion avec le OU exclusif (XOR), qui vaut $0$
lorsque les deux entrées sont identiques. Avec le OU inclusif,
dès qu'au moins une entrée vaut $1$, la sortie vaut $1$.

]]> La sortie est indéterminée

]]> Erreur : la sortie d'une fonction logique est toujours
déterminée par sa table de vérité, sans ambiguïté.

]]> La sortie vaut $1$

]]> Bonne réponse : le OU inclusif renvoie $1$ dès qu'au moins
une entrée vaut $1$. Sa table de vérité ne contient un $0$
que pour la combinaison $(0, 0)$.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q02 : Structure des tables de vérité Combien de lignes comporte la table de vérité d'une fonction
logique possédant $4$ variables d'entrée ?

]]> Avec $n$ variables booléennes, chacune peut valoir $0$ ou $1$
indépendamment des autres, donc la table de vérité contient
$2^n$ lignes. Pour $n = 4$, on obtient $2^{4} = 16$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle comporte $12$ lignes

]]> Erreur : confusion avec $4 \times 3$ (produit) au lieu de
$2^{4}$ (puissance). Le bon raisonnement est combinatoire :
chaque variable peut prendre $2$ valeurs indépendamment.

]]> Elle comporte $16$ lignes

]]> Bonne réponse : $2^{4} = 16$ combinaisons possibles pour
quatre variables binaires.

]]> Elle comporte $8$ lignes

]]> Erreur : c'est le nombre de lignes pour $3$ variables ($2^{3}$).
Avec $4$ variables, il faut calculer $2^{4}$.

]]> Elle comporte $4$ lignes

]]> Erreur : confusion entre le nombre de variables et le nombre
de combinaisons. Avec $n$ variables, on a $2^n$ combinaisons,
pas $n$.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q03 : Syntaxe de programmation Quel mot-clé Python correspond à l'opérateur de négation
logique (NON) ?

]]> Python privilégie une syntaxe en mots anglais lisibles : not,
and et or.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le mot-clé inv

]]> Erreur : inv n'existe pas en Python comme mot-clé de négation.

]]> Le mot-clé not

]]> Bonne réponse : Python utilise les mots-clés en toutes
lettres : not, and et or.

]]> Le mot-clé negative

]]> Erreur : negative n'est pas un mot-clé Python.
Le mot-clé est not.

]]> Le symbole !

]]> Erreur : c'est la syntaxe du C, du C++, de Java ou de
JavaScript, pas celle de Python.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q04 : Étude de l'élément absorbant D'après les propriétés du ET logique ($\cdot$), que vaut
systématiquement l'expression $a \cdot 0$ ?

]]> Dans l'algèbre de Boole, $0$ est l'élément absorbant du ET et
l'élément neutre du OU. Symétriquement, $1$ est l'élément
neutre du ET et l'élément absorbant du OU.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle vaut $a$

]]> Erreur : confusion avec l'élément neutre. C'est $a \cdot 1$
qui vaut $a$ ; avec $0$ comme second opérande, le résultat
est forcément $0$ (élément absorbant).

]]> Elle vaut $0$

]]> Bonne réponse : $0$ est l'élément absorbant du ET logique.
Quelle que soit la valeur de $a$, le produit $a \cdot 0$ vaut $0$.

]]> Elle vaut $\overline{a}$

]]> Erreur : il n'y a aucune négation dans l'expression. Le ET
avec $0$ donne toujours $0$, pas le complémentaire de $a$.

]]> Elle vaut $1$

]]> Erreur : confusion possible avec le OU logique. Pour le ET,
la sortie ne vaut $1$ que si toutes les entrées valent $1$.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q05 : Principes fondamentaux Laquelle de ces égalités exprime qu'une variable booléenne $a$ et sa
négation $\overline{a}$ ne peuvent jamais être fausses en même
temps ?

]]> Une variable booléenne est soit vraie, soit fausse : l'une des deux
valeurs $a$ ou $\overline{a}$ vaut $1$, d'où $a + \overline{a} = 1$.
De même, elles ne valent jamais $1$ ensemble, d'où
$a \cdot \overline{a} = 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a \cdot 1 = a$

]]> Erreur : $a \cdot 1 = a$ dit que $1$ est l'élément neutre du ET.
Elle ne fait pas intervenir $\overline{a}$.

]]> $\overline{\overline{a}} = a$

]]> Erreur : $\overline{\overline{a}} = a$ dit que nier deux fois
redonne la valeur de départ. Elle ne compare pas $a$ et
$\overline{a}$.

]]> $a \cdot \overline{a} = 0$

]]> Erreur : $a \cdot \overline{a} = 0$ exprime que $a$ et
$\overline{a}$ ne peuvent pas être vraies en même temps, et non
qu'elles ne peuvent pas être fausses ensemble.

]]> $a + \overline{a} = 1$

]]> Bonne réponse : $a + \overline{a}$ ne vaudrait $0$ que si $a$ et
$\overline{a}$ valaient toutes deux $0$, ce qui est impossible. Le
OU vaut donc toujours $1$.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q06 : Transformation d'expressions Quelle est la seconde loi de De Morgan, relative au
complément d'un produit ($\overline{a \cdot b}$) ?

]]> Les lois de De Morgan permettent de transformer le complément
d'une opération binaire :
$\overline{a + b} = \overline{a} \cdot \overline{b}$ et
$\overline{a \cdot b} = \overline{a} + \overline{b}$.
Mémo : « on inverse chaque variable et on échange les opérateurs ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\overline{a \cdot b} = a + b$

]]> Erreur : on a bien transformé le ET en OU, mais on a
oublié de complémenter chaque variable.

]]> $\overline{a + b} = \overline{a} \cdot \overline{b}$

]]> Erreur : c'est la première loi de De Morgan (complément
d'une somme), pas la seconde demandée.

]]> $\overline{a \cdot b} = \overline{a} \cdot \overline{b}$

]]> Erreur : on a bien complémenté chaque variable, mais on a
oublié de changer l'opérateur. De Morgan transforme un
produit en somme et réciproquement.

]]> $\overline{a \cdot b} = \overline{a} + \overline{b}$

]]> Bonne réponse : on complémente chaque variable et on
remplace le ET par un OU. C'est bien la seconde loi de
De Morgan.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q07 : Simplification algébrique Que vaut l'expression simplifiée $a + a \cdot b$ d'après les
lois d'absorption ?

]]> Loi d'absorption : $a + a \cdot b = a \cdot (1 + b) = a \cdot 1 = a$.
Sa duale s'écrit $a \cdot (a + b) = a$. À distinguer de
$a + \overline{a} \cdot b = a + b$ qui est une autre identité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle vaut $1$

]]> Erreur : si $a = 0$ et $b = 0$, l'expression vaut $0$,
donc elle ne peut pas être identiquement égale à $1$.

]]> Elle vaut $b$

]]> Erreur : oubli de la variable dominante. Si $a = 1$,
l'expression vaut $1$ même quand $b = 0$ : elle ne peut
donc pas se réduire à $b$.

]]> Elle vaut $a + b$

]]> Erreur : c'est la simplification d'une autre absorption,
$a + \overline{a} \cdot b = a + b$. Ici, le facteur est $b$
(sans complément), donc la simplification est plus forte.

]]> Elle vaut $a$

]]> Bonne réponse : on factorise par $a$ pour obtenir
$a \cdot (1 + b) = a \cdot 1 = a$. La présence de $b$
n'apporte rien quand $a$ est déjà vrai.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q08 : Étude du OU exclusif Dans quel cas précis la fonction XOR ($a \oplus b$) renvoie-t-elle
la valeur $1$ ?

]]> Table de vérité du XOR : $(0,0)\to 0$, $(0,1)\to 1$,
$(1,0)\to 1$, $(1,1)\to 0$. C'est l'opérateur de
« différence » ou « non-équivalence ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Lorsque les deux entrées sont identiques

]]> Erreur : c'est exactement le contraire. Le XOR renvoie $0$ (et non
$1$) lorsque les deux entrées sont identiques.

]]> Lorsque exactement une des deux entrées vaut $1$

]]> Bonne réponse : le XOR détecte la différence entre les
entrées. Il renvoie $1$ si et seulement si exactement
une seule des deux entrées vaut $1$.

]]> Lorsque les deux entrées valent $1$

]]> Erreur : pour $(1, 1)$, le XOR renvoie $0$ et non $1$.
C'est précisément ce qui le différencie du OU inclusif.

]]> Lorsque au moins une entrée vaut $0$

]]> Erreur : pour $(0, 0)$, au moins une entrée vaut $0$
mais le XOR renvoie $0$, pas $1$. La condition n'est
donc pas suffisante.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q09 : Tester la première note d'une liste peut-être vide La fonction premiere_reussie(notes) doit renvoyer True si la
liste notes n'est pas vide et que sa première note vaut au moins
$10$, et False dans tous les autres cas, sans jamais provoquer
d'erreur. Quelle expression faut-il renvoyer ?

]]> Les opérateurs and et or sont séquentiels : a and b n'évalue
pas b si a est faux, a or b n'évalue pas b si a est vrai.
On place donc en premier la condition qui protège la seconde.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc notes[0] >= 10 and len(notes) > 0

]]> Erreur : l'ordre compte. notes[0] est évalué en premier, et pour
la liste vide il provoque une IndexError avant que la longueur
soit testée.

]]> len(notes) > 0 and notes[0] >= 10

]]> Bonne réponse : le and est évalué de gauche à droite et s'arrête
dès que la première condition est fausse. Pour [],
len(notes) > 0 vaut False et notes[0] n'est jamais lu : la
fonction renvoie False sans erreur.

]]> len(notes) == 0 and notes[0] >= 10

]]> Erreur : pour [], la première condition est vraie, donc Python
évalue notes[0] et provoque une IndexError. Pour [12],
l'expression vaut False au lieu de True.

]]> len(notes) > 0 or notes[0] >= 10

]]> Erreur : avec or, la seconde condition est évaluée quand la
première est fausse, donc justement pour la liste vide :
notes[0] provoque une IndexError. Pour [8], l'expression
vaut True à tort.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q11 : Comportement du OU avec deux entrées à $0$ Quelle est la valeur de l'expression $a + b$ lorsque $a = 0$ et $b = 0$ ?

]]> Le OU inclusif vaut $0$ uniquement pour la combinaison $(0, 0)$.
Pour toutes les autres combinaisons, au moins une entrée vaut $1$
et la sortie vaut $1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle vaut $2$

]]> Erreur : confusion avec une addition arithmétique. La logique
booléenne ne manipule que les valeurs $0$ et $1$.

]]> Elle vaut $0$

]]> Bonne réponse : le OU vaut $0$ uniquement quand toutes ses
entrées valent $0$. C'est le seul cas qui donne $0$ pour le
OU inclusif.

]]> Elle vaut $1$

]]> Erreur : confusion possible avec l'élément absorbant du OU
($a + 1 = 1$). Avec deux entrées à $0$, la sortie vaut $0$.

]]> Elle est indéterminée

]]> Erreur : la sortie d'une fonction logique est entièrement
déterminée par sa table de vérité.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q12 : Loi d'idempotence du ET D'après la propriété d'idempotence, à quoi est égale l'expression
$a \cdot a$ ?

]]> L'idempotence est valable pour les deux opérateurs :
$a \cdot a = a$ et $a + a = a$. C'est une particularité de
l'algèbre de Boole que l'on n'a pas en arithmétique classique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle vaut $a$

]]> Bonne réponse : c'est la loi d'idempotence du ET. Le ET d'un
booléen avec lui-même donne ce booléen.

]]> Elle vaut $0$

]]> Erreur : c'est $a \cdot \overline{a}$ qui vaut $0$ (principe
de non-contradiction), pas $a \cdot a$.

]]> Elle vaut $a^2$

]]> Erreur : confusion avec l'arithmétique. En algèbre de Boole,
$1 \cdot 1 = 1$ et $0 \cdot 0 = 0$, donc le résultat est
simplement $a$.

]]> Elle vaut $\overline{a}$

]]> Erreur : il n'y a pas de complémentation dans l'expression.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q13 : Élément neutre du OU Que vaut systématiquement l'expression $a + 0$ ?

]]> Mémo : pour le OU, $0$ est neutre et $1$ est absorbant. Pour le
ET, c'est l'inverse : $1$ est neutre et $0$ est absorbant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle vaut $a$

]]> Bonne réponse : $0$ est l'élément neutre du OU. Ajouter $0$
ne change pas la valeur de $a$.

]]> Elle vaut $1$

]]> Erreur : c'est $a + 1$ qui vaut $1$ (élément absorbant du OU).

]]> Elle vaut $0$

]]> Erreur : confusion avec l'élément absorbant du ET ($a \cdot 0 = 0$).
Pour le OU, $0$ est l'élément neutre, pas absorbant.

]]> Elle vaut $\overline{a}$

]]> Erreur : il n'y a pas de complémentation dans l'expression.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q14 : Évaluation de la fonction NOR La fonction NOR (NON-OU) est définie par $\overline{a + b}$.
Quelle est sa valeur pour $a = 0$ et $b = 0$ ?

]]> La NOR ne vaut $1$ que pour $(0, 0)$ et vaut $0$ pour toutes les
autres combinaisons. Comme la NAND, elle est universelle :
tout circuit logique peut être réalisé avec uniquement des NOR.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est indéterminée

]]> Erreur : la NOR a une table de vérité parfaitement définie.

]]> Elle vaut $\overline{a}$

]]> Erreur : la NOR ne dépend pas que de $a$ ; elle dépend des
deux entrées.

]]> Elle vaut $0$

]]> Erreur : oubli de la négation finale. $a + b = 0$ pour $(0, 0)$,
donc $\overline{a + b} = \overline{0} = 1$.

]]> Elle vaut $1$

]]> Bonne réponse : $0 + 0 = 0$, et $\overline{0} = 1$. La NOR vaut
$1$ uniquement pour cette combinaison.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q15 : Comparaison et affectation en Python Quel symbole utilise-t-on en Python pour tester l'égalité de deux
valeurs ?

]]> Python utilise = pour affecter et == pour comparer. Confondre
les deux est une source classique de bugs : if a = 5: produit
une erreur de syntaxe (à dessein, pour éviter les confusions
involontaires).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le symbole ===

]]> Erreur : === n'existe pas en Python (on le rencontre en
JavaScript). Écrire a === b provoque une erreur de syntaxe.

]]> Le symbole =

]]> Erreur : = est l'opérateur d'affectation, pas de comparaison.
C'est l'erreur classique en Python : a = 5 affecte $5$ à $a$,
alors que a == 5 teste si $a$ vaut $5$.

]]> Le symbole ==

]]> Bonne réponse : == est le test d'égalité. Il renvoie un
booléen (True ou False).

]]> Le symbole !=

]]> Erreur : != teste la différence (l'opposé de ==).

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q17 : Première loi de De Morgan Quelle est la première loi de De Morgan, relative au complément
d'une somme ($\overline{a + b}$) ?

]]> Les deux lois de De Morgan permettent de transformer le complément
d'une opération binaire :
$\overline{a + b} = \overline{a} \cdot \overline{b}$ et
$\overline{a \cdot b} = \overline{a} + \overline{b}$.
Mémo : « on complémente chaque variable et on échange les
opérateurs ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\overline{a + b} = \overline{a} + \overline{b}$

]]> Erreur : on a complémenté chaque variable, mais on a oublié de
changer l'opérateur. De Morgan transforme une somme en produit
(et inversement).

]]> $\overline{a + b} = a + b$

]]> Erreur : aucune transformation appliquée. Le complément d'une
expression n'est pas l'expression elle-même.

]]> $\overline{a + b} = \overline{a} \cdot \overline{b}$

]]> Bonne réponse : « ne pas (A ou B) » revient à « ne pas A ET
ne pas B ». On complémente chaque variable et on échange les
opérateurs.

]]> $\overline{a + b} = a \cdot b$

]]> Erreur : on a bien échangé l'opérateur ($+$ devient $\cdot$),
mais on a oublié de complémenter chaque variable.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q18 : Distributivité du ET sur le OU Quelle est la forme développée de l'expression $a \cdot (b + c)$ ?

]]> $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. L'algèbre de Boole
possède aussi la distributivité duale, sans équivalent en
arithmétique : $a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a \cdot b \cdot c$

]]> Erreur : confusion entre distributivité et associativité. La
distributivité du ET sur le OU produit une somme de produits.

]]> $a \cdot b + a \cdot c$

]]> Bonne réponse : exactement comme la distributivité de la
multiplication sur l'addition en arithmétique, $a(b+c) = ab+ac$.

]]> $(a + b) \cdot (a + c)$

]]> Erreur : c'est la forme donnée par la distributivité
duale, celle du OU sur le ET :
$a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c)$. Ici l'opérateur
extérieur est un ET. Pour $a = 1$ et $b = c = 0$,
l'expression proposée vaut $1$ alors que $a \cdot (b + c)$
vaut $0$.

]]> $a \cdot b + c$

]]> Erreur : oubli du facteur $a$ devant le second terme. La
distributivité s'applique à chaque terme entre parenthèses.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q19 : Principe de non-contradiction Que vaut systématiquement l'expression $a \cdot \overline{a}$ ?

]]> Le principe de non-contradiction $a \cdot \overline{a} = 0$ et le
tiers exclu $a + \overline{a} = 1$ sont les deux propriétés duales
de complémentarité en algèbre de Boole.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\overline{a}$

]]> Erreur : le produit $a \cdot \overline{a}$ vaut toujours $0$,
quelle que soit la valeur de $a$. Il ne peut donc pas valoir
$\overline{a}$, qui dépend de $a$.

]]> $0$

]]> Bonne réponse : c'est le principe de non-contradiction. Une
variable et son complément ne peuvent jamais valoir $1$
simultanément, donc leur ET vaut toujours $0$.

]]> $a$

]]> Erreur : si $a = 1$, alors $\overline{a} = 0$ et le produit
vaut $0$, pas $1$. Le résultat ne peut donc pas être $a$.

]]> $1$

]]> Erreur : confusion avec le tiers exclu, qui s'écrit
$a + \overline{a} = 1$ (avec un OU, pas un ET).

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q20 : Expression algébrique du OU exclusif À quelle expression algébrique correspond la fonction XOR
($a \oplus b$), exprimée à l'aide des opérateurs fondamentaux ET,
OU et NON ?

]]> L'expression $\overline{a} \cdot b + a \cdot \overline{b}$ se lit
directement sur la table de vérité : on prend les lignes où le
résultat vaut $1$ (ici $(0, 1)$ et $(1, 0)$), on écrit chacune comme
un produit des variables ou de leurs compléments, puis on additionne
ces produits.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a \cdot b$

]]> Erreur : c'est la définition du ET, qui ne vaut $1$ que pour
$(1, 1)$. Le XOR vaut justement $0$ dans ce cas.

]]> $\overline{a} \cdot \overline{b} + a \cdot b$

]]> Erreur : cette expression vaut $1$ quand les deux entrées sont
égales, $(0, 0)$ ou $(1, 1)$, alors que le XOR vaut $1$ quand
elles diffèrent. C'est le contraire du XOR.

]]> $\overline{a} \cdot b + a \cdot \overline{b} + a \cdot b$

]]> Erreur : c'est une écriture du OU inclusif, qui garde le terme
$a \cdot b$ (ligne $(1, 1)$ de la table). Le XOR vaut justement $0$
sur cette ligne : ce troisième terme est de trop.

]]> $\overline{a} \cdot b + a \cdot \overline{b}$

]]> Bonne réponse : le XOR vaut $1$ quand exactement une entrée
vaut $1$ : soit « $a$ faux et $b$ vrai » ($\overline{a} \cdot b$),
soit « $a$ vrai et $b$ faux » ($a \cdot \overline{b}$).

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q21 : Simplification d'une condition Python D'après les lois de De Morgan, quelle est la forme la plus
simplifiée équivalente à l'expression not (x > 0 and y > 0) ?

]]> Cette équivalence est très utile pour rendre les conditions
Python plus lisibles : on évite ainsi les négations imbriquées
qui obligent à un effort mental supplémentaire à la lecture.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc not x > 0 or not y > 0

]]> Erreur : cette écriture est bien équivalente, mais elle
n'est pas simplifiée. En Python, not est moins prioritaire
que la comparaison, donc not x > 0 signifie not (x > 0),
soit x <= 0 : il restait à effectuer cette simplification.

]]> x > 0 or y > 0

]]> Erreur : on a juste retiré le not et changé and en or,
sans complémenter les comparaisons. Pour appliquer De Morgan,
il faut complémenter chaque condition.

]]> x <= 0 and y <= 0

]]> Erreur : on a bien complémenté chaque comparaison, mais on a
oublié d'échanger and et or. De Morgan transforme un ET
en OU et inversement.

]]> x <= 0 or y <= 0

]]> Bonne réponse : par la 2ème loi de De Morgan,
$\overline{a \cdot b} = \overline{a} + \overline{b}$, donc
not (A and B) = (not A) or (not B). La négation de > 0
est <= 0.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q22 : Loi d'absorption duale D'après les lois d'absorption, à quoi est égale l'expression
$a \cdot (a + b)$ ?

]]> Les deux lois d'absorption sont duales :
$a + a \cdot b = a$ et $a \cdot (a + b) = a$.
Dans les deux cas, la variable « extérieure » domine et absorbe
la sous-expression dans laquelle elle apparaît.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a \cdot b$

]]> Erreur : si $a = 1$ et $b = 0$, l'expression vaut $1$ alors
que $a \cdot b = 0$. Donc l'égalité ne tient pas.

]]> $b$

]]> Erreur : la variable $a$ ne peut pas disparaître. Si $a = 0$,
l'expression vaut $0$ quelle que soit la valeur de $b$.

]]> $a$

]]> Bonne réponse : c'est la duale de $a + a \cdot b = a$. On peut
la prouver en développant : $a \cdot (a + b) = a \cdot a + a \cdot b = a + a \cdot b = a$.

]]> $a + b$

]]> Erreur : oubli de la dominance de $a$. Si $a = 0$,
l'expression vaut $0$, ce qui n'est pas le cas de $a + b$
quand $b = 1$.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q23 : Construction de la fonction NON avec des NAND On note $a \uparrow b = \overline{a \cdot b}$ la fonction NON-ET
(NAND). Quelle expression, utilisant uniquement cette fonction et la
variable $a$, permet d'obtenir $\overline{a}$ ?

]]> On applique la définition : $a \uparrow a = \overline{a \cdot a}$, et
comme $a \cdot a = a$, on obtient $\overline{a}$. On le vérifie sur
la table : pour $a = 0$, $\overline{0 \cdot 0} = 1$ ; pour $a = 1$,
$\overline{1 \cdot 1} = 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a \uparrow \overline{a}$

]]> Erreur : cette expression suppose que l'on dispose déjà de
$\overline{a}$, qui est précisément ce que l'on cherche à
construire. C'est un raisonnement circulaire.

]]> $a + \overline{a}$

]]> Erreur : cette expression utilise les opérateurs OU et NON, pas
uniquement la fonction $\uparrow$. De plus, elle vaut toujours $1$,
quelle que soit la valeur de $a$.

]]> $a \uparrow a$

]]> Bonne réponse : $a \uparrow a = \overline{a \cdot a} = \overline{a}$,
car $a \cdot a = a$. En reliant les deux entrées d'une porte NON-ET,
on obtient une porte NON.

]]> $\overline{a \uparrow a}$

]]> Erreur : on ajoute une négation supplémentaire, qui annule la
précédente. Cela donne $\overline{\overline{a}} = a$, et non
$\overline{a}$.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q24 : Synthèse à partir d'une table de vérité Une fonction logique $f(a, b)$ a la table de vérité suivante :
$f(0, 0) = 0$, $f(0, 1) = 1$, $f(1, 0) = 0$, $f(1, 1) = 1$.
Quelle est l'expression la plus simple de $f$ ?

]]> Lire systématiquement la table : ici $f$ vaut $0$ quand $b = 0$
et $f$ vaut $1$ quand $b = 1$, quelle que soit la valeur de $a$.
L'expression minimale est donc $f = b$. C'est un piège classique :
avant de chercher une combinaison complexe, vérifier si la sortie
ne dépend pas en réalité d'une seule entrée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f = a \cdot b$

]]> Erreur : pour $(0, 1)$, on a $a \cdot b = 0$ alors que $f = 1$.
La fonction ET ne convient pas.

]]> $f = a \oplus b$

]]> Erreur : pour $(1, 1)$, on a $a \oplus b = 0$ alors que $f = 1$.
Le XOR ne convient pas.

]]> $f = b$

]]> Bonne réponse : la sortie est égale à $b$ dans toutes les
combinaisons, indépendamment de $a$. La fonction est
dégénérée : elle ne dépend en réalité que de $b$.

]]> $f = a + b$

]]> Erreur : pour $(1, 0)$, on a $a + b = 1$ alors que $f = 0$.
La fonction OU ne convient pas.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q25 : Traduire un énoncé en expression booléenne Un capteur de sécurité doit déclencher une alarme uniquement
lorsque la porte est ouverte (variable $p$ valant $1$) et
qu'aucun badge autorisé n'est détecté (variable $a$ valant $0$,
$a$ valant $1$ signifiant qu'un badge autorisé est présent).
Quelle expression booléenne décrit la sortie de l'alarme ?

]]> Traduire un énoncé en logique demande deux étapes : isoler
les variables binaires (ici $p$ et $a$) et identifier
l'opérateur qui relie les conditions (ET, OU, négation).
Bien repérer les négations dans le langage naturel
(« aucun », « pas de », « sauf si ») évite la moitié des
erreurs classiques.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $p \cdot \overline{a}$

]]> Bonne réponse : l'alarme se déclenche quand les deux
conditions sont réunies simultanément (porte ouverte
ET pas de badge), d'où le ET logique. La condition
« pas de badge » se traduit par $\overline{a}$
(négation de la présence d'un badge autorisé).

]]> $p \cdot a$

]]> Erreur : cette expression déclenche l'alarme quand
la porte est ouverte et qu'un badge autorisé est
présent, c'est-à-dire dans une situation parfaitement
normale.

]]> $p + a$

]]> Erreur : le OU ne convient pas. Avec cette
expression, l'alarme se déclenche dès que la porte
est ouverte, même si un badge autorisé est détecté.

]]> $\overline{p} \cdot \overline{a}$

]]> Erreur : cette expression vaut $1$ quand la porte est
fermée et qu'aucun badge n'est détecté, c'est-à-dire
en l'absence totale d'activité, ce qui est l'inverse
du comportement souhaité.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q26 : Simplifier une expression Quelle est la forme la plus simple de l'expression
$a \cdot (a + b) + a \cdot \overline{b}$ ?

]]> La loi d'absorption ($a + a \cdot b = a$ et
$a \cdot (a + b) = a$) est l'une des plus efficaces
pour simplifier rapidement. Quand un résultat de
simplification surprend, la vérification par table de
vérité (quatre lignes pour deux variables) tranche
sans ambiguïté.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a$

]]> Bonne réponse : on développe et l'on simplifie.
$a \cdot (a + b) = a$ par absorption ; il reste
$a + a \cdot \overline{b}$, qui se simplifie à
son tour en $a$ par la même loi d'absorption.
L'expression vaut donc simplement $a$, quelle que
soit la valeur de $b$.

]]> $a + b$

]]> Erreur : cette expression vaut $1$ pour $(0, 1)$,
alors que l'expression initiale vaut $0$. Une
simplification se vérifie toujours en testant les
$2^n$ combinaisons.

]]> $a \cdot b$

]]> Erreur : cette expression vaut $0$ pour $(1, 0)$,
alors que l'expression initiale vaut $1$ (car
$a \cdot \overline{b} = 1$).

]]> $\overline{b}$

]]> Erreur : cette expression ne dépend pas de $a$
alors que la valeur de l'expression initiale en
dépend (pour $a = 0$, elle vaut toujours $0$
quelle que soit la valeur de $b$).

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q27 : Évaluer une expression avec et et non Que vaut l'expression a and not b lorsque a vaut True et b
vaut False ?

]]> not est évalué avant and, lui-même avant or. Des parenthèses
rendent l'ordre explicite quand on hésite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc True

]]> Bonne réponse : not b vaut l'inverse de False, et and n'est
vrai que si ses deux opérandes le sont.

]]> False

]]> Erreur : évalue d'abord not b, puis combine avec a par un
and.

]]> True and False

]]> Erreur : une expression booléenne s'évalue en True ou
False.

]]> Une erreur, not ne pouvant suivre and

]]> Erreur : not s'applique à b avant le and, l'écriture est
valide.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q28 : Une division évitée par le et Que vaut x != 0 and 10 / x > 2 lorsque x vaut 0 ?

]]> L'évaluation paresseuse de and et or permet d'écrire une
condition de garde avant une opération risquée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc False, la seconde comparaison n'étant pas évaluée

]]> Bonne réponse : x != 0 est faux, donc le résultat du and
est connu. Python n'évalue pas 10 / x, et la division par
zéro n'a pas lieu.

]]> Une erreur de division par zéro, 10 / x étant calculé

]]> Erreur : Python évalue and de gauche à droite et s'arrête dès
que le résultat est certain.

]]> True, car 10 / 0 est considéré comme infini

]]> Erreur : la division n'est jamais calculée, et x != 0 est de
toute façon faux.

]]> 0, le résultat de la première comparaison

]]> Erreur : une expression avec and renvoie un booléen.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q29 : Un ou entre deux tests Que vaut n % 2 == 0 or n > 10 lorsque n vaut 7 ?

]]> Les opérateurs arithmétiques et de comparaison sont évalués avant
les opérateurs booléens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc False

]]> Bonne réponse : or est vrai dès qu'une des deux comparaisons
l'est. Pour 7, regarde la parité puis la comparaison à 10.

]]> True

]]> Erreur : évalue séparément 7 % 2 == 0 et 7 > 10, puis
applique la règle du or.

]]> 7

]]> Erreur : le résultat d'un or entre comparaisons est un
booléen.

]]> Une erreur, % ne pouvant être mêlé à or

]]> Erreur : les comparaisons sont évaluées d'abord, le or
combine ensuite leurs résultats.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q30 : La priorité de not devant or Que vaut not a or b lorsque a et b valent tous deux True ?

]]> Ordre de priorité : not, puis and, puis or. En cas de doute,
les parenthèses évitent toute ambiguïté.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc True, l'expression se lisant (not a) or b

]]> Bonne réponse : not est prioritaire sur or. not a vaut
False, puis False or True vaut True.

]]> False, l'expression se lisant not (a or b)

]]> Erreur : sans parenthèses, not ne porte que sur a.

]]> Une erreur de syntaxe, not ne pouvant précéder or

]]> Erreur : l'expression est valide, seule sa lecture demande de
connaître les priorités.

]]> a, le not et le or s'annulant

]]> Erreur : l'expression s'évalue en un booléen, ici True.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q31 : Le type d'une comparaison Que renvoie type(3 > 2) ?

]]> bool est un type à deux valeurs. Toute condition d'un if ou
d'un while est de ce type.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc <class 'bool'>

]]> Bonne réponse : une comparaison produit un booléen, True ou
False, du type bool.

]]> <class 'int'>

]]> Erreur : les opérandes sont des entiers, mais le résultat de la
comparaison ne l'est pas.

]]> <class 'str'>

]]> Erreur : True sans guillemets n'est pas une chaîne.

]]> Une erreur, type ne s'appliquant pas à une comparaison

]]> Erreur : type accepte toute valeur, y compris le résultat
d'une comparaison.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q32 : Le nombre de lignes d'une table Combien de lignes compte la table de vérité d'une expression à
trois variables booléennes ?

]]> Une table de vérité énumère toutes les combinaisons des entrées :
$2^n$ lignes pour $n$ variables.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $8$

]]> Bonne réponse : chaque variable prend deux valeurs, et les
combinaisons se multiplient : $2^{3} = 8$.

]]> $6$

]]> Erreur : les valeurs se combinent, elles ne s'additionnent pas.

]]> $9$

]]> Erreur : le nombre de combinaisons est une puissance de deux,
pas un carré.

]]> $3$

]]> Erreur : $3$ est le nombre de colonnes d'entrée, pas le nombre
de lignes.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q33 : Retrouver l'expression d'une table Une expression e de deux variables a la table suivante :
a=0, b=0 → 0 ; a=0, b=1 → 0 ; a=1, b=0 → 1 ; a=1, b=1 → 0.
Quelle est cette expression ?

]]> Pour lire une table, on repère les lignes vraies : une seule ligne
vraie se traduit par un and des variables, niées quand elles
valent 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a and not b

]]> Bonne réponse : la seule ligne vraie est celle où a vaut 1 et
b vaut 0, ce que traduit a and not b.

]]> a or not b

]]> Erreur : cette expression serait vraie aussi pour a=0, b=0 et
a=1, b=1.

]]> not a and b

]]> Erreur : cette expression est vraie pour a=0, b=1, pas pour
a=1, b=0.

]]> a and b

]]> Erreur : a and b n'est vrai que sur la dernière ligne.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q34 : Compter les lignes vraies Dans la table de vérité à deux variables a et b, sur combien
de lignes l'expression a or b vaut-elle 1 ?

]]> or est vrai sur trois lignes sur quatre, and sur une seule,
not a sur les deux lignes où a vaut 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$ lignes

]]> Bonne réponse : parmi les quatre combinaisons de a et b,
a or b est vraie sur 3 d'entre elles.

]]> $1$ lignes

]]> Erreur : reprends les quatre combinaisons une par une et évalue
a or b sur chacune.

]]> $2$ lignes

]]> Erreur : compte seulement les lignes où a or b vaut 1.

]]> $4$ lignes

]]> Erreur : aucune des expressions usuelles n'est vraie sur les
quatre lignes.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q35 : Deux expressions, une même table Quelle expression a exactement la même table de vérité que
not (a and b) ?

]]> Deux expressions sont équivalentes si leurs tables coïncident sur
toutes les lignes. Les lois de De Morgan sont les équivalences les
plus utiles pour simplifier une négation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc not a or not b

]]> Bonne réponse : les deux expressions sont fausses uniquement
quand a et b valent toutes deux 1. C'est la seconde loi de
De Morgan.

]]> not a and not b

]]> Erreur : cette expression n'est vraie que si a et b valent
toutes deux 0, alors que not (a and b) est vraie sur trois
lignes.

]]> a or b

]]> Erreur : a or b est fausse pour a=0, b=0, là où
not (a and b) est vraie.

]]> not a and b

]]> Erreur : pour a=1, b=0, not a and b vaut 0 et
not (a and b) vaut 1.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q36 : Lignes vraies à trois variables Dans la table de vérité à trois variables a, b et c, qui
compte huit lignes, sur combien de lignes l'expression a and (b or c)
vaut-elle 1 ?

]]> Avec trois variables, fixer l'une d'elles ramène à deux tables de
quatre lignes, plus faciles à dénombrer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$ lignes

]]> Bonne réponse : en fixant d'abord la valeur de a, on compte
les combinaisons de b et c qui rendent a and (b or c) vraie, soit
3 lignes au total.

]]> $5$ lignes

]]> Erreur : reprends les huit combinaisons, en séparant les cas
a=0 et a=1.

]]> $2$ lignes

]]> Erreur : vérifie chaque combinaison de b et c pour la
valeur de a qui rend l'expression possible.

]]> $8$ lignes

]]> Erreur : une expression vraie sur les huit lignes serait une
tautologie, ce qui n'est pas le cas ici.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q37 : La loi d'absorption À quoi se simplifie l'expression a or (a and b) ?

]]> Absorption : a or (a and b) vaut a, et de même
a and (a or b) vaut a. Une table de vérité le confirme en
quatre lignes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a

]]> Bonne réponse : si a est vrai, le or l'est ; si a est
faux, a and b l'est aussi. Le résultat ne dépend que de a.

]]> a and b

]]> Erreur : pour a=1, b=0, l'expression vaut 1 alors que
a and b vaut 0.

]]> a or b

]]> Erreur : pour a=0, b=1, l'expression vaut 0 alors que
a or b vaut 1.

]]> b

]]> Erreur : la valeur de b n'influence jamais le résultat.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q38 : La double négation À quoi est équivalente l'expression not (not a) ?

]]> La double négation est la plus simple des règles de
simplification : not not a se réduit à a.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a

]]> Bonne réponse : nier deux fois revient au point de départ,
comme « il n'est pas faux que » signifie « il est vrai que ».

]]> not a

]]> Erreur : deux négations s'annulent, il n'en reste aucune.

]]> False

]]> Erreur : le résultat dépend de a, il n'est pas constant.

]]> True

]]> Erreur : pour a faux, not (not a) vaut False.

]]>