$course$/QCM de NSI/Première/Numération et représentation des entiers
Systèmes de numération positionnels (binaire, décimal, hexadécimal),
conversions entre bases, opérations sur les entiers naturels,
représentation des entiers relatifs en complément à deux,
dépassement de capacité, applications (couleurs, adresses mémoire).]]>
Numération et représentation des entiers — Q01 : Définition d'un bit
Que désigne précisément le mot bit en informatique ?]]>
Le bit est l'unité élémentaire d'information en numérique.
Huit bits forment un octet. Les capacités de stockage usuelles
sont mesurées en octets, kilo-octets, méga-octets, etc.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Un groupe de huit chiffres binaires]]>
Erreur : un groupe de huit chiffres binaires s'appelle un
octet (en anglais byte), pas un bit.]]>
Une unité de mesure de la mémoire vive]]>
Erreur : le bit est plutôt l'unité élémentaire d'information.
La mémoire vive se mesure en octets, kilo-octets,
giga-octets, etc.]]>
Un chiffre binaire pouvant valoir $0$ ou $1$]]>
Bonne réponse : « bit » est la contraction de
binary digit. C'est l'unité élémentaire d'information,
qui ne peut prendre que deux valeurs $0$ ou $1$.]]>
Un nombre hexadécimal sur quatre chiffres]]>
Erreur : un chiffre hexadécimal correspond à quatre bits,
mais le bit lui-même est l'unité de base, pas un nombre
hexadécimal.]]>
Numération et représentation des entiers — Q02 : Symboles du système hexadécimal
Combien de symboles différents utilise le système hexadécimal
(base $16$) ?]]>
L'hexadécimal est très utilisé en informatique pour sa
compacité : un chiffre hexadécimal correspond à exactement
quatre bits, soit la moitié d'un octet. Cela rend la lecture
des données binaires beaucoup plus aisée.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$10$]]>
Erreur : c'est le nombre de symboles du système décimal
(base $10$). En hexadécimal, on a besoin de symboles
supplémentaires pour représenter $10, 11, \ldots, 15$.]]>
$16$]]>
Bonne réponse : la base $16$ utilise $16$ symboles, à savoir
les chiffres $0$ à $9$ pour les valeurs $0$ à $9$, puis les
lettres A, B, C, D, E, F pour les valeurs $10$ à $15$.]]>
$2$]]>
Erreur : c'est le nombre de symboles de la base $2$ (le
binaire), pas de la base $16$.]]>
$26$]]>
Erreur : confusion possible avec le nombre de lettres de
l'alphabet. L'hexadécimal utilise $10$ chiffres et $6$
lettres, soit $16$ symboles au total.]]>
Numération et représentation des entiers — Q03 : Conversion binaire vers décimal
Que vaut $1011_2$ en base décimale ?]]>
Méthode : pour convertir un binaire en décimal, on associe à
chaque bit une puissance de $2$ (en partant de la droite à
$2^0$) et on additionne les puissances correspondant aux bits
à $1$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$11$]]>
Bonne réponse : $1011_2 = 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 11_{10}$.]]>
$13$]]>
Erreur : confusion possible avec $1101_2$. Bien lire les
bits de gauche à droite et associer chacun à sa puissance
de $2$.]]>
$14$]]>
Erreur : possible erreur de calcul ou décalage. Vérifier en
additionnant : $1011_2 = 8 + 2 + 1 = 11$.]]>
$1011$]]>
Erreur : ce serait la lecture comme un nombre décimal. Or
en base $2$, chaque position a un poids différent
(puissance de $2$, pas de $10$).]]>
Numération et représentation des entiers — Q04 : Conversion décimal vers binaire
Quelle est l'écriture binaire (sur quatre bits) de l'entier
$10$ ?]]>
Méthode des divisions successives par $2$ : $10 = 5 \times 2 + 0$, $5 = 2 \times 2 + 1$, $2 = 1 \times 2 + 0$, $1 = 0 \times 2 + 1$.
On lit les restes de bas en haut : $1010_2$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$1010_2$]]>
Bonne réponse : $10 = 8 + 2 = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 1010_2$.]]>
$0010_2$]]>
Erreur : c'est $2_{10}$. Confusion possible entre la
lecture de l'écriture décimale $10$ et la valeur binaire.]]>
$1100_2$]]>
Erreur : c'est $12_{10}$, pas $10$. Vérifier en
décomposant : $1100_2 = 8 + 4 = 12$.]]>
$0101_2$]]>
Erreur : c'est $5_{10}$, pas $10$. Tous les bits ont
été inversés ($0$ et $1$ échangés).]]>
Numération et représentation des entiers — Q05 : Composition d'un octet
Combien de bits contient un octet ?]]>
Le nom octet renvoie directement à « huit ». Le mot anglais
byte est utilisé dans la plupart des langages de
programmation.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$4$]]>
Erreur : $4$ bits forment un demi-octet (parfois appelé
quartet ou nibble), équivalent à un chiffre hexadécimal.]]>
$8$]]>
Bonne réponse : un octet (en anglais byte) est un groupe
de huit bits. Il peut représenter $2^8 = 256$ valeurs
différentes.]]>
$1$]]>
Erreur : un seul bit ne forme pas un octet. Un bit est
l'unité élémentaire d'information.]]>
$16$]]>
Erreur : $16$ bits forment deux octets, l'une des
tailles courantes des entiers avec $8$, $32$ et $64$ bits.]]>
Numération et représentation des entiers — Q06 : Plus grand entier naturel sur un octet
Quel est le plus grand entier naturel que l'on peut représenter
sur un octet (huit bits) ?]]>
Sur $n$ bits, on peut coder $2^n$ valeurs différentes, soit les
entiers naturels de $0$ à $2^n - 1$. Pour $n = 8$, c'est de $0$
à $255$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$128$]]>
Erreur : $128$ est le seuil entre nombres positifs et
négatifs en complément à deux, mais ce n'est pas le
maximum d'un entier naturel sur un octet.]]>
$255$]]>
Bonne réponse : sur huit bits, on peut coder les entiers
naturels de $0$ à $2^8 - 1 = 255$. Le maximum correspond à
$11111111_2$.]]>
$511$]]>
Erreur : $511 = 2^9 - 1$ est le maximum sur neuf bits,
pas huit.]]>
$256$]]>
Erreur : un octet permet $256$ valeurs différentes (de
$0$ à $255$), mais pas la valeur $256$ elle-même.]]>
Numération et représentation des entiers — Q07 : Préfixes des bases en Python
En Python, quel préfixe utilise-t-on pour écrire un littéral
hexadécimal ?]]>
Python accepte trois préfixes : 0b (binaire), 0o (octal) et
0x (hexadécimal). On peut aussi utiliser int("FF", 16) pour
convertir une chaîne en entier dans une base donnée.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
0o]]>
Erreur : 0o est le préfixe pour l'octal (base $8$),
rarement utilisé.]]>
0b]]>
Erreur : 0b est le préfixe pour le binaire (par
exemple 0b101 == 5).]]>
0h]]>
Erreur : 0h n'est pas un préfixe valide en Python. Cela
provoquerait une erreur de syntaxe.]]>
0x]]>
Bonne réponse : 0x introduit un littéral hexadécimal.
Par exemple 0xFF == 255.]]>
Numération et représentation des entiers — Q08 : Bits par chiffre hexadécimal
Combien de bits sont nécessaires pour coder un chiffre
hexadécimal ?]]>
Cette correspondance exacte (un chiffre hexa = quatre bits) est
très pratique : pour convertir entre binaire et hexadécimal,
on regroupe simplement les bits par paquets de quatre, sans
calcul.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$8$]]>
Erreur : huit bits forment un octet, ce qui correspond à
deux chiffres hexadécimaux (de $00$ à $FF$).]]>
$1$]]>
Erreur : un seul bit ne permet de coder que deux valeurs
($0$ et $1$). Or l'hexadécimal nécessite seize valeurs.]]>
$4$]]>
Bonne réponse : $2^4 = 16$, donc quatre bits suffisent à
coder les seize valeurs hexadécimales. C'est ce qui rend
la conversion entre hexadécimal et binaire si simple.]]>
$16$]]>
Erreur : confusion entre la base ($16$ symboles) et le
nombre de bits requis. $4$ bits suffisent puisque
$2^4 = 16$.]]>
Numération et représentation des entiers — Q09 : Lecture d'un chiffre hexadécimal
Quelle est la valeur décimale de la lettre $C$ utilisée comme
chiffre hexadécimal ?]]>
Mémo : A vaut $10$ et chaque lettre suivante incrémente
d'une unité, jusqu'à F qui vaut $15$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$13$]]>
Erreur : $13$ correspond à la lettre $D$. La lettre $C$
vient juste avant, donc vaut $12$.]]>
$12$]]>
Bonne réponse : les lettres A, B, C, D, E, F valent
respectivement $10, 11, 12, 13, 14, 15$.]]>
$11$]]>
Erreur : $11$ correspond à la lettre $B$. La lettre $C$
vient juste après, donc vaut $12$.]]>
$3$]]>
Erreur : confusion possible avec la position de C dans
l'alphabet. En hexadécimal, A vaut $10$, B vaut $11$, C
vaut $12$, etc.]]>
Numération et représentation des entiers — Q10 : Bit de poids fort
Que désigne le bit de poids fort dans la représentation
binaire d'un nombre ?]]>
En complément à deux, le bit de poids fort joue un rôle
particulier : il indique le signe ($0$ pour positif, $1$ pour
négatif).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Le bit le plus à gauche dans l'écriture du nombre]]>
Bonne réponse : sur $n$ bits, le bit de poids fort est en
position $n-1$, avec un poids de $2^{n-1}$, la plus
grande puissance de $2$ de l'écriture.]]>
Le bit le plus à droite dans l'écriture du nombre (poids $2^0$)]]>
Erreur : c'est le bit de poids faible. Le bit de poids
fort est au contraire celui dont la position a la plus
grande valeur.]]>
Le bit qui change le plus souvent quand on incrémente le nombre]]>
Erreur : c'est au contraire le bit de poids faible qui
change à chaque incrément. Le bit de poids fort change le
moins souvent.]]>
Le bit qui vaut systématiquement $1$ dans tout nombre binaire]]>
Erreur : un bit de poids fort peut valoir $0$ ou $1$,
comme tout autre bit.]]>
Numération et représentation des entiers — Q11 : Conversion binaire vers décimal sur huit bits
Que vaut $01001101_2$ en base décimale ?]]>
Astuce : pour les conversions sur huit bits, mémoriser les
puissances de $2$ jusqu'à $2^7 = 128$. La somme des bits à $1$
donne directement la valeur décimale.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$74$]]>
Erreur de calcul : vérifier les puissances de $2$ associées
aux bits à $1$. On doit avoir $2^6 + 2^3 + 2^2 + 2^0$.]]>
$77$]]>
Bonne réponse : $01001101_2 = 64 + 8 + 4 + 1 = 77_{10}$.
Les bits à $1$ sont aux positions $6, 3, 2, 0$.]]>
$93$]]>
Erreur : c'est $01011101_2$. Lire attentivement les bits.]]>
$109$]]>
Erreur : c'est $01101101_2$, pas $01001101_2$. Bien
identifier la position de chaque bit à $1$.]]>
Numération et représentation des entiers — Q12 : Conversion hexadécimal vers binaire
Quelle est l'écriture binaire de $A3F_{16}$ ?]]>
Un chiffre hexa = quatre bits. La conversion est purement
mécanique : il suffit de remplacer chaque chiffre hexa par les
quatre bits correspondants, dans l'ordre.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$1010111111_2$]]>
Erreur : il manque $2$ bits. Chaque chiffre
hexadécimal doit être codé sur exactement quatre bits, en
complétant par des zéros à gauche si nécessaire.]]>
$101001000000_2$]]>
Erreur : c'est l'écriture de $A40_{16}$, le dernier
quartet est faux. Convertir chaque chiffre séparément,
sans retenue d'un quartet à l'autre.]]>
$101000111111_2$]]>
Bonne réponse : $A \to 1010, 3 \to 0011, F \to 1111$.
Mis bout à bout : $1010\ 0011\ 1111_2$.]]>
$111100111010_2$]]>
Erreur : c'est la conversion de $F3A_{16}$, les chiffres
hexadécimaux ont été lus dans le mauvais ordre. Lire de
gauche à droite : A puis 3 puis F.]]>
Numération et représentation des entiers — Q13 : Addition binaire avec retenue
Que vaut $1011_2 + 0110_2$ ? Les opérandes sont codés sur
quatre bits ; donnez le résultat complet de l'addition posée.]]>
L'addition binaire suit les mêmes règles que l'addition
décimale, avec retenues : $0+0 = 0$, $0+1 = 1$, $1+1 = 10$
(retenue), $1+1+1 = 11$ (retenue). Si le résultat sort de
l'intervalle de codage, on parle de dépassement.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0001_2$]]>
Erreur : la retenue finale a été perdue. La somme dépasse
quatre bits, le résultat complet en compte cinq.]]>
$1101_2$]]>
Erreur : confusion possible avec un XOR (différence) au
lieu d'une addition.]]>
$1111_2$]]>
Erreur : confusion possible entre OU logique et addition.
L'addition propage des retenues, contrairement au OU.]]>
$10001_2$]]>
Bonne réponse : $1011 + 0110 = 10001_2$ (en posant l'addition
colonne par colonne, avec retenues). Vérification :
$11 + 6 = 17 = 16 + 1 = 10001_2$.]]>
Numération et représentation des entiers — Q14 : Intervalle de codage en complément à deux
Sur huit bits en complément à deux, quel est l'intervalle des
entiers relatifs codables ?]]>
Sur $n$ bits en complément à deux, l'intervalle est
$[-2^{n-1}\,;\, 2^{n-1} - 1]$. La dissymétrie (un négatif de
plus) vient du fait que $0$ est compté côté positif.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$[-128\,;\, 127]$]]>
Bonne réponse : sur $n = 8$ bits, l'intervalle est
$[-2^{n-1}\,;\, 2^{n-1} - 1] = [-128\,;\, 127]$.]]>
$[-128\,;\, 128]$]]>
Erreur : la valeur $128$ ne peut pas être codée car
$10000000_2$ vaut $-128$ en complément à deux.]]>
$[-127\,;\, 127]$]]>
Erreur : il y a un négatif de plus que de positifs. La
plus petite valeur est $-128$, pas $-127$.]]>
$[0\,;\, 255]$]]>
Erreur : c'est l'intervalle des entiers naturels
(non signés) sur huit bits.]]>
Numération et représentation des entiers — Q15 : Calcul du complément à deux
Quelle est la représentation binaire de $-19$ sur huit bits, en
complément à deux ?]]>
Les trois étapes du complément à deux : (1) écrire la valeur
absolue en binaire, (2) inverser tous les bits (complément à
un), (3) ajouter $1$. Cela revient à calculer $2^n - |x|$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$11101101$]]>
Bonne réponse : étape par étape, $19 = 00010011$, on
inverse → $11101100$, on ajoute $1$ → $11101101$.]]>
$11101100$]]>
Erreur : c'est le complément à un (inversion des bits)
mais on a oublié l'étape finale d'ajouter $1$.]]>
$11101110$]]>
Erreur : on a ajouté $2$ au lieu de $1$ après inversion,
ou on a inversé un bit de plus.]]>
$10010011$]]>
Erreur : c'est la représentation naïve (signe + valeur
absolue), qui n'est pas le complément à deux. Cette
notation a des défauts qui justifient justement le
complément à deux.]]>
Numération et représentation des entiers — Q16 : Lecture d'un nombre négatif
Que vaut $11111101_2$ interprété en complément à deux sur huit
bits ?]]>
Méthode : si le bit de poids fort vaut $1$, le nombre est
négatif. On retrouve sa valeur absolue en appliquant à
nouveau le complément à deux (inversion + $1$).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-125$]]>
Erreur : confusion possible. Vérifier en posant l'addition
$00000011 + 11111101$ : si on obtient $00000000$ (avec
retenue ignorée), c'est bien $3$ et $-3$.]]>
$-253$]]>
Erreur : on a oublié que la valeur absolue se déduit en
appliquant à nouveau le complément à deux, pas en lisant
la magnitude restante.]]>
$253$]]>
Erreur : c'est la lecture comme entier naturel. Or le
bit de poids fort à $1$ indique un nombre négatif en
complément à deux.]]>
$-3$]]>
Bonne réponse : on inverse → $00000010$, on ajoute $1$ →
$00000011 = 3$, le bit de poids fort à $1$ donne le signe
négatif. Donc $-3$.]]>
Numération et représentation des entiers — Q17 : Couleurs HTML en hexadécimal
En CSS, la couleur #FF5733 est codée en hexadécimal sur six
chiffres. Que vaut la composante rouge en décimal ?]]>
Une couleur RVB sur huit bits par composante prend la forme
#RRVVBB où chaque paire de chiffres hexa code une valeur
entre $00$ et $FF$ ($0$ et $255$). Ici : rouge = $FF = 255$,
vert = $57 = 87$, bleu = $33 = 51$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$30$]]>
Erreur : on a additionné les deux chiffres hexadécimaux
($15 + 15$) au lieu de multiplier le premier par $16$ :
$FF_{16} = 15 \cdot 16 + 15 = 255_{10}$.]]>
$87$]]>
Erreur : $87$ correspond à la composante verte $57_{16}$.]]>
$255$]]>
Bonne réponse : la composante rouge est $FF_{16}$, soit
$15 \cdot 16 + 15 = 255_{10}$.]]>
$51$]]>
Erreur : $51$ correspond à la composante bleue $33_{16}$.
Les composantes sont dans l'ordre RVB (rouge, vert, bleu).]]>
Numération et représentation des entiers — Q18 : Nombre de valeurs codables
Combien de valeurs différentes peut-on représenter sur $n$ bits ?]]>
Cette croissance exponentielle explique pourquoi les
processeurs $64$ bits ($2^{64}$ adresses possibles) couvrent
toute la mémoire imaginable, alors que les processeurs $32$
bits ($\approx 4 \cdot 10^9$ adresses) sont déjà saturés pour
la mémoire moderne.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$n$]]>
Erreur : confusion entre le nombre de bits et le nombre de
valeurs. Avec $1$ bit on a $2$ valeurs, avec $2$ bits on
en a $4$, pas $2$.]]>
$2 \cdot n$]]>
Erreur : la croissance n'est pas linéaire mais
exponentielle. Chaque bit supplémentaire double le
nombre de valeurs possibles.]]>
$2^n$]]>
Bonne réponse : chaque bit pouvant prendre deux valeurs
indépendamment des autres, $n$ bits permettent
$2 \times 2 \times \cdots \times 2 = 2^n$ combinaisons.]]>
$n^2$]]>
Erreur : la croissance n'est pas polynomiale mais
exponentielle. Pour $n = 10$, on a $2^{10} = 1024$, pas
$100$.]]>
Numération et représentation des entiers — Q19 : Astuce rapide du complément à deux
Pour calculer rapidement le complément à deux d'un nombre, on
parcourt ses bits de droite à gauche. Que fait-on ?]]>
Exemple : $20 = 00010100$. On garde « ...100 » (jusqu'au
premier $1$ depuis la droite) et on inverse le reste :
$11101100 = -20$. Cette astuce évite l'étape « inversion +
addition de $1$ ».]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
On ajoute $1$ à chaque bit individuellement, colonne par colonne]]>
Erreur : ce n'est pas une opération sensée en binaire
(chaque bit ne vaut que $0$ ou $1$).]]>
On inverse tous les bits sans exception, du poids faible au poids fort]]>
Erreur : c'est le complément à un. L'astuce du
complément à deux laisse une partie des bits inchangée.]]>
On garde les bits jusqu'au premier $1$ inclus et on inverse le reste]]>
Bonne réponse : on conserve la partie droite (zéros et le
premier $1$) et on inverse tout le reste à gauche. Cela
évite les étapes intermédiaires.]]>
On inverse les bits jusqu'au premier $1$, puis on garde les suivants]]>
Erreur : c'est l'inverse de la bonne règle. On commence par
garder la partie droite, puis on inverse à gauche.]]>
Numération et représentation des entiers — Q20 : Asymétrie positifs/négatifs
Pourquoi y a-t-il un négatif de plus que de positifs en
complément à deux ?]]>
Sur huit bits, on a $256$ codes : $128$ pour les non négatifs
($0, 1, \ldots, 127$) et $128$ pour les négatifs
($-128, -127, \ldots, -1$). C'est une particularité du
complément à deux qu'il faut connaître.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Parce que le complément à deux gaspille un code]]>
Erreur : au contraire, le complément à deux n'a pas de
double représentation du zéro, il utilise donc tous les
codes possibles.]]>
Parce que la représentation est moins efficace pour les positifs]]>
Erreur : la représentation est tout aussi efficace pour
les positifs que pour les négatifs. La dissymétrie tient
à un autre phénomène.]]>
Parce que $0$ est compté du côté des positifs]]>
Bonne réponse : sur $n$ bits, on a $2^n$ codes différents,
dont une moitié pour les négatifs et une moitié pour les
positifs. Comme $0$ n'a qu'une seule représentation et
qu'il est compté avec les positifs, il y en a un de moins
côté positif.]]>
Parce que les nombres négatifs prennent plus de bits que les positifs]]>
Erreur : tous les codes ont la même longueur en bits.
C'est la convention de signe qui crée la dissymétrie.]]>
Numération et représentation des entiers — Q21 : Dépassement de capacité
Sur huit bits en complément à deux, que renvoie l'addition
$127 + 1$ ?]]>
Le dépassement est un piège classique des langages à entiers de
taille fixe. En complément à deux, l'incrément du plus grand
positif donne le plus petit négatif. C'est la cause de bugs
célèbres, comme le compteur de vues 32 bits de YouTube dépassé
en 2014 par Gangnam Style.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0$]]>
Erreur : confusion possible avec une remise à zéro après
débordement, qui se produit pour les entiers non signés
($255 + 1 = 0$ mod $256$). Ici, on est en signé.]]>
$-128$]]>
Bonne réponse : $01111111 + 00000001 = 10000000$. Or sur
$8$ bits en complément à deux, $10000000_2 = -128$. Il y
a dépassement de capacité (overflow).]]>
Une erreur Python]]>
Erreur : Python n'a pas de limite de taille des entiers,
donc cette question concerne les langages à entiers de
taille fixe (C, Java, etc.). En Python, $127 + 1 = 128$
sans souci.]]>
$128$]]>
Erreur : $128$ n'est pas représentable sur $8$ bits en
complément à deux (l'intervalle s'arrête à $127$). Le
résultat est donc « tordu ».]]>
Numération et représentation des entiers — Q22 : Défaut de la représentation naïve
Pourquoi n'utilise-t-on pas la représentation naïve (bit de
poids fort = signe, autres bits = valeur absolue) pour coder
les entiers relatifs ?]]>
C'est précisément pour pouvoir réutiliser le circuit
d'addition standard que les processeurs adoptent le complément
à deux. La représentation naïve aurait aussi le défaut d'avoir
deux représentations du zéro ($+0$ et $-0$).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Parce qu'elle ne permet pas de coder les nombres négatifs]]>
Erreur : elle code bien les négatifs, mais avec deux
défauts qui la rendent peu pratique.]]>
Parce qu'elle utilise plus de bits que le complément à deux]]>
Erreur : les deux représentations utilisent le même nombre
de bits.]]>
Parce que l'addition binaire usuelle échoue sur les négatifs]]>
Bonne réponse : avec la représentation naïve, on ne peut
plus utiliser l'additionneur standard pour les
soustractions. Le complément à deux résout ce problème :
le même circuit d'addition fonctionne pour positifs et
négatifs.]]>
Parce qu'elle est plus lente à interpréter pour le processeur]]>
Erreur : la lecture est en réalité plus simple (signe
+ valeur absolue). Le problème est ailleurs : dans
l'arithmétique.]]>
Numération et représentation des entiers — Q23 : Différence entre complément à un et complément à deux
En quoi le complément à deux diffère-t-il du complément à un ?]]>
Le complément à un (inversion seule) crée deux représentations
du zéro ($00\ldots0$ et $11\ldots1$). L'ajout du « $+1$ » du
complément à deux fait fusionner ces deux zéros et permet
d'utiliser l'arithmétique standard sans correction.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Le complément à un est calculé sur deux bits, le complément à deux sur deux octets]]>
Erreur : confusion sur les noms. Aucune des deux
appellations ne renvoie au nombre de bits.]]>
Le complément à deux n'utilise pas le bit de poids fort comme signe]]>
Erreur : au contraire, le bit de poids fort sert de
signe en complément à deux ($0$ pour positif, $1$ pour
négatif).]]>
Le complément à un ne fonctionne que pour les nombres positifs]]>
Erreur : le complément à un peut s'appliquer à n'importe
quel motif binaire ; c'est juste une inversion de bits.]]>
Le complément à deux ajoute $1$ après l'inversion de tous les bits]]>
Bonne réponse : le complément à un s'arrête à l'inversion
des bits ; c'est l'étape intermédiaire de l'opération du
complément à deux. Le « $+1$ » final corrige la double
représentation du zéro qui subsisterait sans cette
correction.]]>
Numération et représentation des entiers — Q25 : Entiers en Python vs en C
En Python, l'expression 2 ** 100 donne un nombre entier
exact, alors qu'en C ou en Java elle provoquerait un
dépassement. Pourquoi ?]]>
Cette caractéristique est un atout pédagogique de Python :
l'élève n'a pas à se soucier des limites de codage. Mais cela
a un coût : les opérations sur de très grands entiers sont
plus lentes que sur des entiers de taille fixe.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Python utilise des nombres flottants pour tous les calculs entiers]]>
Erreur : Python distingue bien les entiers (int) des
flottants (float). $2^{100}$ est calculé comme un entier
exact, pas approché.]]>
Python tronque silencieusement les entiers trop grands]]>
Erreur : aucune troncature. Le résultat est exact, même
pour des nombres immenses.]]>
Python fait tous ses calculs entiers modulo $2^{64}$]]>
Erreur : c'est le comportement de C/Java sur entiers
$64$ bits. Python n'a pas de modulo implicite.]]>
Python alloue aux entiers autant de mémoire que nécessaire]]>
Bonne réponse : les entiers Python sont en précision
arbitraire. L'interpréteur adapte automatiquement, sans
limite fixe, la mémoire réservée pour représenter le
nombre exactement.]]>
Numération et représentation des entiers — Q26 : Conversion décimal vers hexadécimal
Quelle est l'écriture hexadécimale de l'entier $195$ ?]]>
Méthode des divisions successives par $16$ : tant que le
quotient n'est pas nul, on note le reste et on continue avec
le quotient. Ici, $195 \div 16 = 12$ reste $3$, puis
$12 \div 16 = 0$ reste $12$ ($\text{C}$). On lit les restes
du dernier au premier : $\text{C3}_{16}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\text{C3}_{16}$]]>
Bonne réponse : $195 = 12 \times 16 + 3$. Le quotient $12$
s'écrit $\text{C}$ et le reste $3$ s'écrit $\text{3}$,
d'où $\text{C3}_{16}$.]]>
$\text{C5}_{16}$]]>
Erreur sur le reste : $195 - 12 \times 16 = 195 - 192 = 3$
(et non $5$). Bien vérifier la soustraction finale qui
donne le dernier chiffre.]]>
$\text{3C}_{16}$]]>
Erreur : les chiffres ont été inversés. Le quotient se
lit en premier (à gauche), suivi du reste à droite. Le
bon résultat est $\text{C3}_{16}$.]]>
$\text{A3}_{16}$]]>
Erreur sur le quotient : on a pris $\text{A}$ (qui vaut
$10$) au lieu de $\text{C}$ (qui vaut $12$). Or
$195 \div 16 = 12$ reste $3$, donc le chiffre des
« seize » est bien $\text{C}$.]]>
Numération et représentation des entiers — Q27 : Nombre minimum de bits
Combien de bits sont nécessaires au minimum pour coder en
binaire l'entier naturel $287$ ?]]>
Méthode : chercher le plus petit $n$ tel que $2^n - 1 \geq 287$,
ou de façon équivalente $2^n \geq 288$. Ici, $2^{8} = 256$
et $2^{9} = 512$, donc le minimum est $n = 9$. De manière
plus formelle, ce nombre est $\lceil \log_2(287 + 1) \rceil = 9$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$9$]]>
Bonne réponse : on cherche le plus petit $n$ tel que
$2^n > 287$. Or $2^{8} = 256$ (insuffisant) et
$2^{9} = 512$ (suffisant), donc $n = 9$.]]>
$7$]]>
Erreur : sur $7$ bits, on peut coder les entiers de $0$
à $2^{7} - 1 = 127$. Or $287 > 127$, donc
$7$ bits ne suffisent pas.]]>
$8$]]>
Erreur : sur $8$ bits, on couvre l'intervalle
$[0\,;\, 2^{8} - 1] = [0\,;\, 255]$. Comme
$287 > 255$, c'est encore insuffisant.]]>
$10$]]>
Erreur : $10$ bits suffisent largement (ils couvrent
jusqu'à $1023$), mais ce n'est pas le minimum. Avec
$9$ bits, on atteint déjà $511$, ce qui est suffisant
pour $287$.]]>
Numération et représentation des entiers — Q29 : Plus grand entier non signé sur 32 bits
Quel est le plus grand entier naturel (non signé) que l'on
peut représenter sur $32$ bits ?]]>
Sur $n$ bits, l'intervalle des entiers naturels codables est
$[0\,;\, 2^n - 1]$. Pour $32$ bits, cela donne environ
$4{,}3 \times 10^{9}$ valeurs. Les processeurs $32$ bits ne
pouvaient ainsi adresser directement que $4$ Go de mémoire
vive.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2 \times 32$]]>
Erreur : la quantité de valeurs codables croît de façon
exponentielle, pas linéaire. Chaque bit
supplémentaire double le nombre de valeurs possibles.]]>
$2^{32} - 1$]]>
Bonne réponse : sur $n$ bits, le plus grand entier
naturel codable est $2^n - 1$. Pour $n = 32$, cela vaut
$4\,294\,967\,295$, soit environ $4{,}3 \times 10^{9}$.]]>
$2^{16}$]]>
Erreur : $2^{16} - 1 = 65\,535$ est le maximum sur
$16$ bits, pas sur $32$. Doubler le nombre de bits
élève le maximum à un carré (à un près), pas en double.]]>
$2^{32}$]]>
Erreur : on peut représenter $2^{32}$ valeurs
différentes (de $0$ à $2^{32} - 1$), mais la valeur
$2^{32}$ elle-même nécessiterait $33$ bits.]]>
Numération et représentation des entiers — Q30 : Bits nécessaires à une somme
Deux entiers naturels s'écrivent chacun sur $8$ bits
au plus. Sur combien de bits au plus s'écrit leur
somme ?]]>
Additionner deux nombres de $n$ bits donne au plus
$2 \cdot (2^n - 1) = 2^{n+1} - 2$, qui tient sur
$n + 1$ bits. Une retenue finale au plus : un seul
bit supplémentaire.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$8$ bits]]>
$255 + 255 = 510$ dépasse $255$, le plus
grand entier sur $8$ bits.]]>
$9$ bits]]>
La somme vaut au plus $510$, inférieure à
$2^{9} = 512$ : $9$ bits suffisent toujours.]]>
$10$ bits]]>
$9$ bits suffisent déjà ; un bit de plus n'est
jamais nécessaire.]]>
$16$ bits]]>
$16$ bits correspondent au produit, pas à la
somme.]]>
Numération et représentation des entiers — Q31 : Bits nécessaires à un produit
Deux entiers naturels s'écrivent chacun sur $8$ bits
au plus. Sur combien de bits au plus s'écrit leur
produit ?]]>
Multiplier deux nombres de $n$ bits donne au plus
$(2^n - 1)^2 < 2^{2n}$ : le produit tient sur $2n$
bits. C'est pourquoi multiplier deux entiers de
$32$ bits peut exiger $64$ bits.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$9$ bits]]>
$9$ bits suffisent pour la somme ; le produit
grandit bien plus vite.]]>
$16$ bits]]>
$255 \times 255 = 65\,025 < 2^{16} = 65\,536$ :
$16$ bits suffisent toujours.]]>
$64$ bits]]>
$16$ bits suffisent ; $64$ bits seraient
un gaspillage sans justification.]]>
$8$ bits]]>
$255 \times 255$ dépasse de loin $255$.]]>
Numération et représentation des entiers — Q32 : Taille du produit de deux nombres binaires
Soit $a = 1101_2$ et $b = 1010_2$. Sur combien de
bits s'écrit exactement le produit $a \times b$ ?]]>
Convertir, multiplier, reconvertir : $13 \times 10 =
130$, et $128 \le 130 < 256$ place le
résultat entre $2^{7}$ et $2^{8}$, donc sur $8$
bits. La borne générale ($2n$ bits pour deux facteurs
de $n$ bits) est atteinte ici.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$8$ bits]]>
$a = 13$, $b = 10$, $a \times b = 130 =
10000010_2$ : $8$ bits.]]>
$4$ bits]]>
Un produit de deux nombres de quatre bits dépasse
presque toujours $15$.]]>
$7$ bits]]>
$130$ dépasse $127 = 2^{7} - 1$, le plus grand
entier sur $7$ bits.]]>
$16$ bits]]>
Seize bits serait la borne pour des facteurs de
huit bits ; ici les facteurs ont quatre bits et
$130 < 256$.]]>
Numération et représentation des entiers — Q33 : Le poids du bit de signe
En complément à deux sur $8$ bits, le bit de poids fort pèse $-128$
au lieu de $+128$. Que vaut l'octet $10000011_2$ ?]]>
Lire un entier signé revient à une lecture positionnelle ordinaire
où le bit de poids fort compte négativement : c'est ce qui rend
l'addition binaire valable pour tous les signes.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-125$]]>
Bonne réponse : $-128 + 3 = -125$. Les sept autres bits gardent
leurs poids habituels, seul le premier est négatif.]]>
$131$]]>
Erreur : c'est la valeur non signée, avec un bit de poids fort
à $+128$. En complément à deux, ce bit vaut $-128$.]]>
$-3$]]>
Erreur : le bit de poids fort n'est pas un simple signe devant
les autres bits ; il pèse $-128$, ce qui donne $-128 + 3$.]]>
$3$]]>
Erreur : $3$ est la valeur des sept bits de droite, il reste à
ajouter le poids $-128$ du premier bit.]]>
Numération et représentation des entiers — Q34 : Une addition avec un nombre négatif
Sur $8$ bits en complément à deux, on additionne $3$, codé
$00000011_2$, et $-5$, codé $11111011_2$, en ignorant une éventuelle
retenue sortante. Quel est le résultat ?]]>
En complément à deux, soustraire revient à additionner l'opposé.
La retenue qui sort du huitième bit est ignorée, et le résultat se
lit avec le bit de poids fort à $-128$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$11111110_2$, soit $-2$]]>
Bonne réponse : l'addition binaire ordinaire donne $11111110_2$
une fois la retenue sortante écartée, et cet octet se lit
$-2$ en complément à deux. Le même circuit sert aux deux
signes.]]>
$00001000_2$, soit $8$]]>
Erreur : $8$ serait $3 + 5$. Le second opérande est
$-5$, et son codage en complément à deux fait bien soustraire.]]>
$11111110_2$, soit $8$]]>
Erreur : l'octet est correct mais sa lecture non. En complément
à deux, $11111110_2$ vaut $-2$.]]>
Une erreur, les nombres négatifs ne s'additionnant pas en binaire]]>
Erreur : c'est tout l'intérêt du complément à deux : la même
addition fonctionne quel que soit le signe des opérandes.]]>
Numération et représentation des entiers — Q35 : Conversion hexadécimal vers décimal
Que vaut $2F_{16}$ en décimal ?]]>
En base $16$, les positions valent $1$, $16$, $256$, et ainsi de
suite, et les chiffres de $A$ à $F$ valent $10$ à $15$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$47$]]>
Bonne réponse : $2 \times 16 + 15 = 47$. Chaque chiffre
hexadécimal pèse une puissance de $16$.]]>
$215$]]>
Erreur : les chiffres ont été convertis séparément puis collés.
Il faut pondérer le premier par $16$.]]>
$242$]]>
Erreur : les poids sont inversés. Le chiffre de gauche est celui
des seizaines.]]>
$17$]]>
Erreur : les chiffres ne s'additionnent pas simplement, le
premier vaut $2 \times 16$.]]>
Numération et représentation des entiers — Q36 : Intérêt de l'écriture hexadécimale
Pourquoi les adresses mémoire ou les codes de couleurs sont-ils
souvent écrits en hexadécimal plutôt qu'en binaire ?]]>
Seize est une puissance de deux : chaque chiffre hexadécimal
correspond à un groupe de quatre bits, d'où une notation compacte
et facile à convertir.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Parce qu'un chiffre hexadécimal remplace exactement quatre bits]]>
Bonne réponse : l'écriture est quatre fois plus courte et la
conversion avec le binaire se fait chiffre par chiffre, sans
calcul.]]>
Parce que les processeurs calculent nativement en base seize]]>
Erreur : les circuits travaillent en binaire. L'hexadécimal est
une notation pour les humains.]]>
Parce que l'hexadécimal permet de coder des nombres plus grands]]>
Erreur : la base ne change pas les valeurs codables, seulement
la longueur de leur écriture.]]>
Parce que les lettres de A à F rendent les nombres plus lisibles]]>
Erreur : les lettres ne sont qu'un moyen d'avoir seize symboles ;
l'avantage vient de la correspondance avec les groupes de quatre
bits.]]>
Numération et représentation des entiers — Q37 : Multiplier par deux en binaire
Que vaut $1011_2 \times 2$, en binaire ?]]>
En base deux, multiplier par $2$ revient à ajouter un $0$ à droite,
exactement comme multiplier par $10$ en base dix.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$10110_2$]]>
Bonne réponse : multiplier par deux décale tous les chiffres
d'un rang vers la gauche et ajoute un $0$ à droite, comme
multiplier par dix ajoute un $0$ en décimal.]]>
$1100_2$]]>
Erreur : c'est $1011_2 + 1$. Multiplier par deux ne consiste pas
à ajouter un.]]>
$101_2$]]>
Erreur : retirer le dernier chiffre divise par deux, au lieu de
multiplier.]]>
$10111_2$]]>
Erreur : le chiffre ajouté à droite est un $0$, pas un $1$. Un
nombre pair se termine toujours par $0$ en binaire.]]>
Numération et représentation des entiers — Q38 : Une somme qui change de signe
Un programme additionne $100$ et $100$ dans une variable sur $8$
bits signés en complément à deux. Quel résultat obtient-il ?]]>
Sur $8$ bits signés, les valeurs vont de $-128$ à $127$. Au-delà, la
somme boucle : $200$ devient $-56$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-56$]]>
Bonne réponse : $200$ dépasse $127$. L'octet obtenu, $11001000_2$,
a son bit de poids fort à $1$ et se lit $200 - 256 = -56$.]]>
$200$]]>
Erreur : $200$ ne tient pas sur $8$ bits signés, dont le maximum
est $127$. Le résultat déborde.]]>
$127$, la valeur étant plafonnée au maximum]]>
Erreur : l'arithmétique binaire ne plafonne pas, elle boucle. Le
résultat repart du côté négatif.]]>
Une erreur signalée par le processeur]]>
Erreur : le dépassement passe souvent inaperçu, c'est ce qui le
rend dangereux. Python, lui, évite le problème avec des entiers
de taille illimitée.]]>
Numération et représentation des entiers — Q39 : Le signe d'un entier codé sur huit bits
En complément à deux sur huit bits, le motif 10010110 représente un
entier. Quel est son signe ?]]>
Le bit de poids fort est le bit de signe : il pèse $-128$ sur huit
bits, et sa présence rend la valeur négative.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Négatif, le bit de poids fort étant $1$]]>
Bonne réponse : en complément à deux, le bit de poids fort
vaut $1$ pour les négatifs et $0$ pour les positifs. Ici le
motif représente $-106$.]]>
Positif, le bit de poids fort étant $1$]]>
Erreur : la valeur du bit de poids fort est juste, mais sa
lecture est inversée ; $1$ signale un négatif.]]>
Nul, le motif n'étant pas valide en complément à deux]]>
Erreur : tout motif de huit bits représente un entier entre
$-128$ et $127$.]]>
Impossible à dire sans connaître la machine]]>
Erreur : la convention du complément à deux suffit, le bit de
poids fort porte le signe.]]>
Numération et représentation des entiers — Q40 : La plage des entiers signés sur n bits
Quels entiers peut-on représenter en complément à deux sur $16$
bits ?]]>
Sur $n$ bits, le complément à deux couvre $[-2^{n-1}, 2^{n-1} - 1]$ :
les $2^n$ motifs sont partagés en deux moitiés inégales d'un.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
De $-32768$ à $32767$]]>
Bonne réponse : la moitié des $2^{16}$ motifs sert aux
négatifs, de $-2^{15}$ à $-1$, l'autre moitié aux positifs
et à zéro, de $0$ à $2^{15} - 1$.]]>
De $0$ à $65535$]]>
Erreur : c'est la plage des entiers non signés sur $16$ bits.]]>
De $-32767$ à $32767$]]>
Erreur : la plage n'est pas symétrique, il y a un négatif de
plus que de positifs.]]>
De $-65535$ à $65535$]]>
Erreur : cela demanderait $2 \times 65535 + 1$ motifs, plus que
les $2^{16}$ disponibles.]]>
Numération et représentation des entiers — Q41 : Une addition qui déborde dans le bit de signe
Une machine additionne $127$ et $1$ en complément à deux sur
huit bits, sans détecter le dépassement. Quel résultat
affiche-t-elle ?]]>
Additionner deux positifs peut donner un négatif en complément à
deux : c'est le dépassement de capacité, invisible sans
vérification.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-128$, la retenue ayant basculé le bit de signe]]>
Bonne réponse : $128$ dépasse $127$ ; son motif sur huit bits
a le bit de poids fort à $1$ et se lit $128 - 256 = -128$.]]>
$128$, l'addition de deux positifs étant toujours exacte]]>
Erreur : $128$ ne tient pas sur sept bits de valeur, le
résultat déborde.]]>
$127$, la valeur étant plafonnée au maximum]]>
Erreur : rien ne plafonne, le motif continue au-delà et change
de signe.]]>
$0$, le dépassement remettant le résultat à zéro]]>
Erreur : seule la retenue sortante est perdue, pas les autres
bits.]]>
Numération et représentation des entiers — Q42 : Conversion décimal vers hexadécimal
Comment s'écrit $171$ en hexadécimal ?]]>
Divisions successives par $16$ : les restes, lus du dernier au
premier, forment l'écriture hexadécimale.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
0xAB]]>
Bonne réponse : $171 = 10 \times 16 + 11$ ; on écrit chaque
reste avec un chiffre hexadécimal, de $0$ à $9$ puis de A
à F, du dernier quotient au premier reste.]]>
0xBA]]>
Erreur : les restes sont écrits dans l'ordre inverse ; le
dernier quotient donne le chiffre de gauche.]]>
0x1011]]>
Erreur : les restes $10$ et $11$ ont été recopiés en
décimal au lieu d'être convertis en chiffres hexadécimaux.]]>
0x171]]>
Erreur : écrire les chiffres décimaux après 0x donne un tout
autre nombre.]]>
Numération et représentation des entiers — Q43 : Comparer deux écritures hexadécimales
Lequel de 0x9A et 0xA0 est le plus grand ?]]>
Comparer deux nombres hexadécimaux de même longueur se fait
chiffre par chiffre depuis la gauche, les lettres valant plus que
les chiffres.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
0xA0, qui vaut $160$]]>
Bonne réponse : 0x9A vaut $154$ et 0xA0 vaut $160$.
En hexadécimal, les lettres A à F valent $10$ à $15$ et
dépassent donc les chiffres.]]>
0x9A, qui vaut $154$]]>
Erreur : 0x9A vaut bien $154$, mais c'est le plus petit
des deux.]]>
Les deux sont égaux]]>
Erreur : deux écritures hexadécimales différentes désignent
deux nombres différents.]]>
Impossible à comparer sans passer par le binaire]]>
Erreur : on compare en convertissant en décimal, ou chiffre
par chiffre depuis la gauche.]]>