$course$/QCM de NSI/Première/Numération et représentation des entiers Systèmes de numération positionnels (binaire, décimal, hexadécimal),
conversions entre bases, opérations sur les entiers naturels,
représentation des entiers relatifs en complément à deux,
dépassement de capacité, applications (couleurs, adresses mémoire).

]]> Numération et représentation des entiers — Q01 : Définition d'un bit Que désigne précisément le mot bit en informatique ?

]]> Le bit est l'unité élémentaire d'information en numérique.
Huit bits forment un octet. Les capacités de stockage usuelles
sont mesurées en octets, kilo-octets, méga-octets, etc.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un nombre hexadécimal sur quatre chiffres

]]> Erreur : un chiffre hexadécimal correspond à quatre bits,
mais le bit lui-même est l'unité de base, pas un nombre
hexadécimal.

]]> Une unité de mesure de la mémoire vive

]]> Erreur : le bit est plutôt l'unité élémentaire d'information.
La mémoire vive se mesure en octets, kilo-octets,
giga-octets, etc.

]]> Un chiffre binaire pouvant valoir 0 ou 1

]]> Bonne réponse : « bit » est la contraction de
binary digit. C'est l'unité élémentaire d'information,
qui ne peut prendre que deux valeurs 0 ou 1.

]]> Un groupe de huit chiffres binaires

]]> Erreur : un groupe de huit chiffres binaires s'appelle un
octet (en anglais byte), pas un bit.

]]> Numération et représentation des entiers — Q02 : Symboles du système hexadécimal Combien de symboles différents utilise le système hexadécimal
(base 16) ?

]]> L'hexadécimal est très utilisé en informatique pour sa
compacité : un chiffre hexadécimal correspond à exactement
quatre bits, soit la moitié d'un octet. Cela rend la lecture
des données binaires beaucoup plus aisée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10

]]> Erreur : c'est le nombre de symboles du système décimal
(base 10). En hexadécimal, on a besoin de symboles
supplémentaires pour représenter 10, 11, \ldots, 15.

]]> 2

]]> Erreur : c'est le nombre de symboles de la base 2 (le
binaire), pas de la base 16.

]]> 16

]]> Bonne réponse : la base 16 utilise 16 symboles, à savoir
les chiffres 0 à 9 pour les valeurs 0 à 9, puis les
lettres A, B, C, D, E, F pour les valeurs 10 à 15.

]]> 26

]]> Erreur : confusion possible avec le nombre de lettres de
l'alphabet. L'hexadécimal utilise 10 chiffres et 6
lettres, soit 16 symboles au total.

]]> Numération et représentation des entiers — Q03 : Conversion binaire vers décimal Que vaut 1011₂ en base décimale ?

]]> Méthode : pour convertir un binaire en décimal, on associe à
chaque bit une puissance de 2 (en partant de la droite à
2⁰) et on additionne les puissances correspondant aux bits
à 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1011

]]> Erreur : ce serait la lecture comme un nombre décimal. Or
en base 2, chaque position a un poids différent
(puissance de 2, pas de 10).

]]> 14

]]> Erreur : possible erreur de calcul ou décalage. Vérifier en
additionnant : 1011₂ = 8 + 2 + 1 = 11.

]]> 13

]]> Erreur : confusion possible avec 1101₂. Bien lire les
bits de gauche à droite et associer chacun à sa puissance
de 2.

]]> 11

]]> Bonne réponse : 1011₂ = 1 · 8 + 0 · 4 + 1 · 2 + 1 · 1 = 11₁₀.

]]> Numération et représentation des entiers — Q04 : Conversion décimal vers binaire Quelle est l'écriture binaire (sur quatre bits) de l'entier
10 ?

]]> Méthode des divisions successives par 2 : 10 = 5 × 2 + 0, 5 = 2 × 2 + 1, 2 = 1 × 2 + 0, 1 = 0 × 2 + 1.
On lit les restes de bas en haut : 1010₂.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1010₂

]]> Bonne réponse : 10 = 8 + 2 = 1 · 2³ + 0 · 2² + 1 · 2¹ + 0 · 2⁰ = 1010₂.

]]> 0101₂

]]> Erreur : c'est 5₁₀, pas 10. Tous les bits ont
été inversés (0 et 1 échangés).

]]> 1100₂

]]> Erreur : c'est 12₁₀, pas 10. Vérifier en
décomposant : 1100₂ = 8 + 4 = 12.

]]> 0010₂

]]> Erreur : c'est 2₁₀. Confusion possible entre la
lecture de l'écriture décimale 10 et la valeur binaire.

]]> Numération et représentation des entiers — Q05 : Composition d'un octet Combien de bits contient un octet ?

]]> Le nom octet renvoie directement à « huit ». Le mot anglais
byte est utilisé dans la plupart des langages de
programmation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4

]]> Erreur : 4 bits forment un demi-octet (parfois appelé
quartet ou nibble), équivalent à un chiffre hexadécimal.

]]> 16

]]> Erreur : 16 bits forment deux octets, l'une des
tailles courantes des entiers avec 8, 32 et 64 bits.

]]> 1

]]> Erreur : un seul bit ne forme pas un octet. Un bit est
l'unité élémentaire d'information.

]]> 8

]]> Bonne réponse : un octet (en anglais byte) est un groupe
de huit bits. Il peut représenter 2⁸ = 256 valeurs
différentes.

]]> Numération et représentation des entiers — Q06 : Plus grand entier naturel sur un octet Quel est le plus grand entier naturel que l'on peut représenter
sur un octet (huit bits) ?

]]> Sur n bits, on peut coder 2ⁿ valeurs différentes, soit les
entiers naturels de 0 à 2ⁿ - 1. Pour n = 8, c'est de 0
à 255.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 256

]]> Erreur : un octet permet 256 valeurs différentes (de
0 à 255), mais pas la valeur 256 elle-même.

]]> 511

]]> Erreur : 511 = 2⁹ - 1 est le maximum sur neuf bits,
pas huit.

]]> 128

]]> Erreur : 128 est le seuil entre nombres positifs et
négatifs en complément à deux, mais ce n'est pas le
maximum d'un entier naturel sur un octet.

]]> 255

]]> Bonne réponse : sur huit bits, on peut coder les entiers
naturels de 0 à 2⁸ - 1 = 255. Le maximum correspond à
11111111₂.

]]> Numération et représentation des entiers — Q07 : Préfixes des bases en Python En Python, quel préfixe utilise-t-on pour écrire un littéral
hexadécimal ?

]]> Python accepte trois préfixes : 0b (binaire), 0o (octal) et
0x (hexadécimal). On peut aussi utiliser int("FF", 16) pour
convertir une chaîne en entier dans une base donnée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0o

]]> Erreur : 0o est le préfixe pour l'octal (base 8),
rarement utilisé.

]]> 0h

]]> Erreur : 0h n'est pas un préfixe valide en Python. Cela
provoquerait une erreur de syntaxe.

]]> 0x

]]> Bonne réponse : 0x introduit un littéral hexadécimal.
Par exemple 0xFF == 255.

]]> 0b

]]> Erreur : 0b est le préfixe pour le binaire (par
exemple 0b101 == 5).

]]> Numération et représentation des entiers — Q08 : Bits par chiffre hexadécimal Combien de bits sont nécessaires pour coder un chiffre
hexadécimal ?

]]> Cette correspondance exacte (un chiffre hexa = quatre bits) est
très pratique : pour convertir entre binaire et hexadécimal,
on regroupe simplement les bits par paquets de quatre, sans
calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4

]]> Bonne réponse : 2⁴ = 16, donc quatre bits suffisent à
coder les seize valeurs hexadécimales. C'est ce qui rend
la conversion entre hexadécimal et binaire si simple.

]]> 16

]]> Erreur : confusion entre la base (16 symboles) et le
nombre de bits requis. 4 bits suffisent puisque
2⁴ = 16.

]]> 1

]]> Erreur : un seul bit ne permet de coder que deux valeurs
(0 et 1). Or l'hexadécimal nécessite seize valeurs.

]]> 8

]]> Erreur : huit bits forment un octet, ce qui correspond à
deux chiffres hexadécimaux (de 00 à FF).

]]> Numération et représentation des entiers — Q09 : Lecture d'un chiffre hexadécimal Quelle est la valeur décimale de la lettre C utilisée comme
chiffre hexadécimal ?

]]> Mémo : A vaut 10 et chaque lettre suivante incrémente
d'une unité, jusqu'à F qui vaut 15.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12

]]> Bonne réponse : les lettres A, B, C, D, E, F valent
respectivement 10, 11, 12, 13, 14, 15.

]]> 3

]]> Erreur : confusion possible avec la position de C dans
l'alphabet. En hexadécimal, A vaut 10, B vaut 11, C
vaut 12, etc.

]]> 13

]]> Erreur : 13 correspond à la lettre D. La lettre C
vient juste avant, donc vaut 12.

]]> 11

]]> Erreur : 11 correspond à la lettre B. La lettre C
vient juste après, donc vaut 12.

]]> Numération et représentation des entiers — Q10 : Bit de poids fort Que désigne le bit de poids fort dans la représentation
binaire d'un nombre ?

]]> En complément à deux, le bit de poids fort joue un rôle
particulier : il indique le signe (0 pour positif, 1 pour
négatif).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le bit qui change le plus souvent quand on incrémente le nombre

]]> Erreur : c'est au contraire le bit de poids faible qui
change à chaque incrément. Le bit de poids fort change le
moins souvent.

]]> Le bit le plus à droite dans l'écriture du nombre (poids 2⁰)

]]> Erreur : c'est le bit de poids faible. Le bit de poids
fort est au contraire celui dont la position a la plus
grande valeur.

]]> Le bit le plus à gauche dans l'écriture du nombre

]]> Bonne réponse : sur n bits, le bit de poids fort est en
position n-1, avec un poids de 2ⁿ⁻¹, la plus
grande puissance de 2 de l'écriture.

]]> Le bit qui vaut systématiquement 1 dans tout nombre binaire

]]> Erreur : un bit de poids fort peut valoir 0 ou 1,
comme tout autre bit.

]]> Numération et représentation des entiers — Q11 : Conversion binaire vers décimal sur huit bits Que vaut 01001101₂ en base décimale ?

]]> Astuce : pour les conversions sur huit bits, mémoriser les
puissances de 2 jusqu'à 2⁷ = 128. La somme des bits à 1
donne directement la valeur décimale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 93

]]> Erreur : c'est 01011101₂. Lire attentivement les bits.

]]> 77

]]> Bonne réponse : 01001101₂ = 64 + 8 + 4 + 1 = 77₁₀.
Les bits à 1 sont aux positions 6, 3, 2, 0.

]]> 109

]]> Erreur : c'est 01101101₂, pas 01001101₂. Bien
identifier la position de chaque bit à 1.

]]> 74

]]> Erreur de calcul : vérifier les puissances de 2 associées
aux bits à 1. On doit avoir 2⁶ + 2³ + 2² + 2⁰.

]]> Numération et représentation des entiers — Q12 : Conversion hexadécimal vers binaire Quelle est l'écriture binaire de A3F₁₆ ?

]]> Un chiffre hexa = quatre bits. La conversion est purement
mécanique : il suffit de remplacer chaque chiffre hexa par les
quatre bits correspondants, dans l'ordre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 101000111111₂

]]> Bonne réponse : A → 1010, 3 → 0011, F → 1111.
Mis bout à bout : 1010\ 0011\ 1111₂.

]]> 1010111111₂

]]> Erreur : il manque 2 bits. Chaque chiffre
hexadécimal doit être codé sur exactement quatre bits, en
complétant par des zéros à gauche si nécessaire.

]]> 111100111010₂

]]> Erreur : c'est la conversion de F3A₁₆, les chiffres
hexadécimaux ont été lus dans le mauvais ordre. Lire de
gauche à droite : A puis 3 puis F.

]]> 101001000000₂

]]> Erreur : c'est l'écriture de A40₁₆, le dernier
quartet est faux. Convertir chaque chiffre séparément,
sans retenue d'un quartet à l'autre.

]]> Numération et représentation des entiers — Q13 : Addition binaire avec retenue Que vaut 1011₂ + 0110₂ ? Les opérandes sont codés sur
quatre bits ; donnez le résultat complet de l'addition posée.

]]> L'addition binaire suit les mêmes règles que l'addition
décimale, avec retenues : 0+0 = 0, 0+1 = 1, 1+1 = 10
(retenue), 1+1+1 = 11 (retenue). Si le résultat sort de
l'intervalle de codage, on parle de dépassement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1101₂

]]> Erreur : confusion possible avec un XOR (différence) au
lieu d'une addition.

]]> 0001₂

]]> Erreur : la retenue finale a été perdue. La somme dépasse
quatre bits, le résultat complet en compte cinq.

]]> 1111₂

]]> Erreur : confusion possible entre OU logique et addition.
L'addition propage des retenues, contrairement au OU.

]]> 10001₂

]]> Bonne réponse : 1011 + 0110 = 10001₂ (en posant l'addition
colonne par colonne, avec retenues). Vérification :
11 + 6 = 17 = 16 + 1 = 10001₂.

]]> Numération et représentation des entiers — Q14 : Intervalle de codage en complément à deux Sur huit bits en complément à deux, quel est l'intervalle des
entiers relatifs codables ?

]]> Sur n bits en complément à deux, l'intervalle est
[-2ⁿ⁻¹ ; 2ⁿ⁻¹ - 1]. La dissymétrie (un négatif de
plus) vient du fait que 0 est compté côté positif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [-128 ; 127]

]]> Bonne réponse : sur n = 8 bits, l'intervalle est
[-2ⁿ⁻¹ ; 2ⁿ⁻¹ - 1] = [-128 ; 127].

]]> [-128 ; 128]

]]> Erreur : la valeur 128 ne peut pas être codée car
10000000₂ vaut -128 en complément à deux.

]]> [-127 ; 127]

]]> Erreur : il y a un négatif de plus que de positifs. La
plus petite valeur est -128, pas -127.

]]> [0 ; 255]

]]> Erreur : c'est l'intervalle des entiers naturels
(non signés) sur huit bits.

]]> Numération et représentation des entiers — Q15 : Calcul du complément à deux Quelle est la représentation binaire de -19 sur huit bits, en
complément à deux ?

]]> Les trois étapes du complément à deux : (1) écrire la valeur
absolue en binaire, (2) inverser tous les bits (complément à
un), (3) ajouter 1. Cela revient à calculer 2ⁿ - |x|.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10010011

]]> Erreur : c'est la représentation naïve (signe + valeur
absolue), qui n'est pas le complément à deux. Cette
notation a des défauts qui justifient justement le
complément à deux.

]]> 11101110

]]> Erreur : on a ajouté 2 au lieu de 1 après inversion,
ou on a inversé un bit de plus.

]]> 11101101

]]> Bonne réponse : étape par étape, 19 = 00010011, on
inverse → 11101100, on ajoute 1 → 11101101.

]]> 11101100

]]> Erreur : c'est le complément à un (inversion des bits)
mais on a oublié l'étape finale d'ajouter 1.

]]> Numération et représentation des entiers — Q16 : Lecture d'un nombre négatif Que vaut 11111101₂ interprété en complément à deux sur huit
bits ?

]]> Méthode : si le bit de poids fort vaut 1, le nombre est
négatif. On retrouve sa valeur absolue en appliquant à
nouveau le complément à deux (inversion + 1).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 253

]]> Erreur : c'est la lecture comme entier naturel. Or le
bit de poids fort à 1 indique un nombre négatif en
complément à deux.

]]> -125

]]> Erreur : confusion possible. Vérifier en posant l'addition
00000011 + 11111101 : si on obtient 00000000 (avec
retenue ignorée), c'est bien 3 et -3.

]]> -253

]]> Erreur : on a oublié que la valeur absolue se déduit en
appliquant à nouveau le complément à deux, pas en lisant
la magnitude restante.

]]> -3

]]> Bonne réponse : on inverse → 00000010, on ajoute 1 →
00000011 = 3, le bit de poids fort à 1 donne le signe
négatif. Donc -3.

]]> Numération et représentation des entiers — Q17 : Couleurs HTML en hexadécimal En CSS, la couleur #FF5733 est codée en hexadécimal sur six
chiffres. Que vaut la composante rouge en décimal ?

]]> Une couleur RVB sur huit bits par composante prend la forme
#RRVVBB où chaque paire de chiffres hexa code une valeur
entre 00 et FF (0 et 255). Ici : rouge = FF = 255,
vert = 57 = 87, bleu = 33 = 51.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 51

]]> Erreur : 51 correspond à la composante bleue 33₁₆.
Les composantes sont dans l'ordre RVB (rouge, vert, bleu).

]]> 255

]]> Bonne réponse : la composante rouge est FF₁₆, soit
15 · 16 + 15 = 255₁₀.

]]> 30

]]> Erreur : on a additionné les deux chiffres hexadécimaux
(15 + 15) au lieu de multiplier le premier par 16 :
FF₁₆ = 15 · 16 + 15 = 255₁₀.

]]> 87

]]> Erreur : 87 correspond à la composante verte 57₁₆.

]]> Numération et représentation des entiers — Q18 : Nombre de valeurs codables Combien de valeurs différentes peut-on représenter sur n bits ?

]]> Cette croissance exponentielle explique pourquoi les
processeurs 64 bits (2⁶⁴ adresses possibles) couvrent
toute la mémoire imaginable, alors que les processeurs 32
bits (≈ 4 · 10⁹ adresses) sont déjà saturés pour
la mémoire moderne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n

]]> Erreur : confusion entre le nombre de bits et le nombre de
valeurs. Avec 1 bit on a 2 valeurs, avec 2 bits on
en a 4, pas 2.

]]> 2ⁿ

]]> Bonne réponse : chaque bit pouvant prendre deux valeurs
indépendamment des autres, n bits permettent
2 × 2 × ·s × 2 = 2ⁿ combinaisons.

]]> 2 · n

]]> Erreur : la croissance n'est pas linéaire mais
exponentielle. Chaque bit supplémentaire double le
nombre de valeurs possibles.

]]> n²

]]> Erreur : la croissance n'est pas polynomiale mais
exponentielle. Pour n = 10, on a 2¹⁰ = 1024, pas
100.

]]> Numération et représentation des entiers — Q19 : Astuce rapide du complément à deux Pour calculer rapidement le complément à deux d'un nombre, on
parcourt ses bits de droite à gauche. Que fait-on ?

]]> Exemple : 20 = 00010100. On garde « ...100 » (jusqu'au
premier 1 depuis la droite) et on inverse le reste :
11101100 = -20. Cette astuce évite l'étape « inversion +
addition de 1 ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On inverse tous les bits sans exception, du poids faible au poids fort

]]> Erreur : c'est le complément à un. L'astuce du
complément à deux laisse une partie des bits inchangée.

]]> On garde les bits jusqu'au premier 1 inclus et on inverse le reste

]]> Bonne réponse : on conserve la partie droite (zéros et le
premier 1) et on inverse tout le reste à gauche. Cela
évite les étapes intermédiaires.

]]> On inverse les bits jusqu'au premier 1, puis on garde les suivants

]]> Erreur : c'est l'inverse de la bonne règle. On commence par
garder la partie droite, puis on inverse à gauche.

]]> On ajoute 1 à chaque bit individuellement, colonne par colonne

]]> Erreur : ce n'est pas une opération sensée en binaire
(chaque bit ne vaut que 0 ou 1).

]]> Numération et représentation des entiers — Q20 : Asymétrie positifs/négatifs Pourquoi y a-t-il un négatif de plus que de positifs en
complément à deux ?

]]> Sur huit bits, on a 256 codes : 128 pour les non négatifs
(0, 1, \ldots, 127) et 128 pour les négatifs
(-128, -127, \ldots, -1). C'est une particularité du
complément à deux qu'il faut connaître.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce que les nombres négatifs prennent plus de bits que les positifs

]]> Erreur : tous les codes ont la même longueur en bits.
C'est la convention de signe qui crée la dissymétrie.

]]> Parce que 0 est compté du côté des positifs

]]> Bonne réponse : sur n bits, on a 2ⁿ codes différents,
dont une moitié pour les négatifs et une moitié pour les
positifs. Comme 0 n'a qu'une seule représentation et
qu'il est compté avec les positifs, il y en a un de moins
côté positif.

]]> Parce que le complément à deux gaspille un code

]]> Erreur : au contraire, le complément à deux n'a pas de
double représentation du zéro, il utilise donc tous les
codes possibles.

]]> Parce que la représentation est moins efficace pour les positifs

]]> Erreur : la représentation est tout aussi efficace pour
les positifs que pour les négatifs. La dissymétrie tient
à un autre phénomène.

]]> Numération et représentation des entiers — Q21 : Dépassement de capacité Sur huit bits en complément à deux, que renvoie l'addition
127 + 1 ?

]]> Le dépassement est un piège classique des langages à entiers de
taille fixe. En complément à deux, l'incrément du plus grand
positif donne le plus petit négatif. C'est la cause de bugs
célèbres, comme le compteur de vues 32 bits de YouTube dépassé
en 2014 par Gangnam Style.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0

]]> Erreur : confusion possible avec une remise à zéro après
débordement, qui se produit pour les entiers non signés
(255 + 1 = 0 mod 256). Ici, on est en signé.

]]> 128

]]> Erreur : 128 n'est pas représentable sur 8 bits en
complément à deux (l'intervalle s'arrête à 127). Le
résultat est donc « tordu ».

]]> Une erreur Python

]]> Erreur : Python n'a pas de limite de taille des entiers,
donc cette question concerne les langages à entiers de
taille fixe (C, Java, etc.). En Python, 127 + 1 = 128
sans souci.

]]> -128

]]> Bonne réponse : 01111111 + 00000001 = 10000000. Or sur
8 bits en complément à deux, 10000000₂ = -128. Il y
a dépassement de capacité (overflow).

]]> Numération et représentation des entiers — Q22 : Défaut de la représentation naïve Pourquoi n'utilise-t-on pas la représentation naïve (bit de
poids fort = signe, autres bits = valeur absolue) pour coder
les entiers relatifs ?

]]> C'est précisément pour pouvoir réutiliser le circuit
d'addition standard que les processeurs adoptent le complément
à deux. La représentation naïve aurait aussi le défaut d'avoir
deux représentations du zéro (+0 et -0).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce qu'elle ne permet pas de coder les nombres négatifs

]]> Erreur : elle code bien les négatifs, mais avec deux
défauts qui la rendent peu pratique.

]]> Parce que l'addition binaire usuelle échoue sur les négatifs

]]> Bonne réponse : avec la représentation naïve, on ne peut
plus utiliser l'additionneur standard pour les
soustractions. Le complément à deux résout ce problème :
le même circuit d'addition fonctionne pour positifs et
négatifs.

]]> Parce qu'elle utilise plus de bits que le complément à deux

]]> Erreur : les deux représentations utilisent le même nombre
de bits.

]]> Parce qu'elle est plus lente à interpréter pour le processeur

]]> Erreur : la lecture est en réalité plus simple (signe
+ valeur absolue). Le problème est ailleurs : dans
l'arithmétique.

]]> Numération et représentation des entiers — Q23 : Différence entre complément à un et complément à deux En quoi le complément à deux diffère-t-il du complément à un ?

]]> Le complément à un (inversion seule) crée deux représentations
du zéro (00\ldots0 et 11\ldots1). L'ajout du « +1 » du
complément à deux fait fusionner ces deux zéros et permet
d'utiliser l'arithmétique standard sans correction.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le complément à un ne fonctionne que pour les nombres positifs

]]> Erreur : le complément à un peut s'appliquer à n'importe
quel motif binaire ; c'est juste une inversion de bits.

]]> Le complément à deux n'utilise pas le bit de poids fort comme signe

]]> Erreur : au contraire, le bit de poids fort sert de
signe en complément à deux (0 pour positif, 1 pour
négatif).

]]> Le complément à un est calculé sur deux bits, le complément à deux sur deux octets

]]> Erreur : confusion sur les noms. Aucune des deux
appellations ne renvoie au nombre de bits.

]]> Le complément à deux ajoute 1 après l'inversion de tous les bits

]]> Bonne réponse : le complément à un s'arrête à l'inversion
des bits ; c'est l'étape intermédiaire de l'opération du
complément à deux. Le « +1 » final corrige la double
représentation du zéro qui subsisterait sans cette
correction.

]]> Numération et représentation des entiers — Q25 : Entiers en Python vs en C En Python, l'expression 2 ** 100 donne un nombre entier
exact, alors qu'en C ou en Java elle provoquerait un
dépassement. Pourquoi ?

]]> Cette caractéristique est un atout pédagogique de Python :
l'élève n'a pas à se soucier des limites de codage. Mais cela
a un coût : les opérations sur de très grands entiers sont
plus lentes que sur des entiers de taille fixe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Python fait tous ses calculs entiers modulo 2⁶⁴

]]> Erreur : c'est le comportement de C/Java sur entiers
64 bits. Python n'a pas de modulo implicite.

]]> Python alloue aux entiers autant de mémoire que nécessaire

]]> Bonne réponse : les entiers Python sont en précision
arbitraire. L'interpréteur adapte automatiquement, sans
limite fixe, la mémoire réservée pour représenter le
nombre exactement.

]]> Python utilise des nombres flottants pour tous les calculs entiers

]]> Erreur : Python distingue bien les entiers (int) des
flottants (float). 2¹⁰⁰ est calculé comme un entier
exact, pas approché.

]]> Python tronque silencieusement les entiers trop grands

]]> Erreur : aucune troncature. Le résultat est exact, même
pour des nombres immenses.

]]> Numération et représentation des entiers — Q26 : Conversion décimal vers hexadécimal Quelle est l'écriture hexadécimale de l'entier 195 ?

]]> Méthode des divisions successives par 16 : tant que le
quotient n'est pas nul, on note le reste et on continue avec
le quotient. Ici, 195 ÷ 16 = 12 reste 3, puis
12 ÷ 16 = 0 reste 12 (\text{C}). On lit les restes
du dernier au premier : \text{C3}_{16}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \text{C5}_{16}

]]> Erreur sur le reste : 195 - 12 × 16 = 195 - 192 = 3
(et non 5). Bien vérifier la soustraction finale qui
donne le dernier chiffre.

]]> \text{C3}_{16}

]]> Bonne réponse : 195 = 12 × 16 + 3. Le quotient 12
s'écrit \text{C} et le reste 3 s'écrit \text{3},
d'où \text{C3}_{16}.

]]> \text{3C}_{16}

]]> Erreur : les chiffres ont été inversés. Le quotient se
lit en premier (à gauche), suivi du reste à droite. Le
bon résultat est \text{C3}_{16}.

]]> \text{A3}_{16}

]]> Erreur sur le quotient : on a pris \text{A} (qui vaut
10) au lieu de \text{C} (qui vaut 12). Or
195 ÷ 16 = 12 reste 3, donc le chiffre des
« seize » est bien \text{C}.

]]> Numération et représentation des entiers — Q27 : Nombre minimum de bits Combien de bits sont nécessaires au minimum pour coder en
binaire l'entier naturel 287 ?

]]> Méthode : chercher le plus petit n tel que 2ⁿ - 1 ≥ 287,
ou de façon équivalente 2ⁿ ≥ 288. Ici, 2⁸ = 256
et 2⁹ = 512, donc le minimum est n = 9. De manière
plus formelle, ce nombre est \lceil \log_2(287 + 1) \rceil = 9.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9

]]> Bonne réponse : on cherche le plus petit n tel que
2ⁿ > 287. Or 2⁸ = 256 (insuffisant) et
2⁹ = 512 (suffisant), donc n = 9.

]]> 10

]]> Erreur : 10 bits suffisent largement (ils couvrent
jusqu'à 1023), mais ce n'est pas le minimum. Avec
9 bits, on atteint déjà 511, ce qui est suffisant
pour 287.

]]> 7

]]> Erreur : sur 7 bits, on peut coder les entiers de 0
à 2⁷ - 1 = 127. Or 287 > 127, donc
7 bits ne suffisent pas.

]]> 8

]]> Erreur : sur 8 bits, on couvre l'intervalle
[0 ; 2⁸ - 1] = [0 ; 255]. Comme
287 > 255, c'est encore insuffisant.

]]> Numération et représentation des entiers — Q29 : Plus grand entier non signé sur 32 bits Quel est le plus grand entier naturel (non signé) que l'on
peut représenter sur 32 bits ?

]]> Sur n bits, l'intervalle des entiers naturels codables est
[0 ; 2ⁿ - 1]. Pour 32 bits, cela donne environ
4{,}3 \times 10^{9} valeurs. Les processeurs 32 bits ne
pouvaient ainsi adresser directement que 4 Go de mémoire
vive.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2 × 32

]]> Erreur : la quantité de valeurs codables croît de façon
exponentielle, pas linéaire. Chaque bit
supplémentaire double le nombre de valeurs possibles.

]]> 2¹⁶

]]> Erreur : 2¹⁶ - 1 = 65 535 est le maximum sur
16 bits, pas sur 32. Doubler le nombre de bits
élève le maximum à un carré (à un près), pas en double.

]]> 2³²

]]> Erreur : on peut représenter 2³² valeurs
différentes (de 0 à 2³² - 1), mais la valeur
2³² elle-même nécessiterait 33 bits.

]]> 2³² - 1

]]> Bonne réponse : sur n bits, le plus grand entier
naturel codable est 2ⁿ - 1. Pour n = 32, cela vaut
4 294 967 295, soit environ 4{,}3 \times 10^{9}.

]]> Numération et représentation des entiers — Q30 : Bits nécessaires à une somme Deux entiers naturels s'écrivent chacun sur 8 bits
au plus. Sur combien de bits au plus s'écrit leur
somme ?

]]> Additionner deux nombres de n bits donne au plus
2 · (2ⁿ - 1) = 2ⁿ⁺¹ - 2, qui tient sur
n + 1 bits. Une retenue finale au plus : un seul
bit supplémentaire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10 bits

]]> 9 bits suffisent déjà ; un bit de plus n'est
jamais nécessaire.

]]> 8 bits

]]> 255 + 255 = 510 dépasse 255, le plus
grand entier sur 8 bits.

]]> 16 bits

]]> 16 bits correspondent au produit, pas à la
somme.

]]> 9 bits

]]> La somme vaut au plus 510, inférieure à
2⁹ = 512 : 9 bits suffisent toujours.

]]> Numération et représentation des entiers — Q31 : Bits nécessaires à un produit Deux entiers naturels s'écrivent chacun sur 8 bits
au plus. Sur combien de bits au plus s'écrit leur
produit ?

]]> Multiplier deux nombres de n bits donne au plus
(2ⁿ - 1)² < 2²ⁿ : le produit tient sur 2n
bits. C'est pourquoi multiplier deux entiers de
32 bits peut exiger 64 bits.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 64 bits

]]> 16 bits suffisent ; 64 bits seraient
un gaspillage sans justification.

]]> 9 bits

]]> 9 bits suffisent pour la somme ; le produit
grandit bien plus vite.

]]> 8 bits

]]> 255 × 255 dépasse de loin 255.

]]> 16 bits

]]> 255 × 255 = 65 025 < 2¹⁶ = 65 536 :
16 bits suffisent toujours.

]]> Numération et représentation des entiers — Q32 : Taille du produit de deux nombres binaires Soit a = 1101₂ et b = 1010₂. Sur combien de
bits s'écrit exactement le produit a × b ?

]]> Convertir, multiplier, reconvertir : 13 × 10 = 130, et 128 ≤ 130 < 256 place le
résultat entre 2⁷ et 2⁸, donc sur 8
bits. La borne générale (2n bits pour deux facteurs
de n bits) est atteinte ici.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7 bits

]]> 130 dépasse 127 = 2⁷ - 1, le plus grand
entier sur 7 bits.

]]> 8 bits

]]> a = 13, b = 10, a × b = 130 = 10000010₂ : 8 bits.

]]> 16 bits

]]> Seize bits serait la borne pour des facteurs de
huit bits ; ici les facteurs ont quatre bits et
130 < 256.

]]> 4 bits

]]> Un produit de deux nombres de quatre bits dépasse
presque toujours 15.

]]> Numération et représentation des entiers — Q33 : Le poids du bit de signe En complément à deux sur 8 bits, le bit de poids fort pèse -128
au lieu de +128. Que vaut l'octet 10000011₂ ?

]]> Lire un entier signé revient à une lecture positionnelle ordinaire
où le bit de poids fort compte négativement : c'est ce qui rend
l'addition binaire valable pour tous les signes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 131

]]> Erreur : c'est la valeur non signée, avec un bit de poids fort
à +128. En complément à deux, ce bit vaut -128.

]]> 3

]]> Erreur : 3 est la valeur des sept bits de droite, il reste à
ajouter le poids -128 du premier bit.

]]> -3

]]> Erreur : le bit de poids fort n'est pas un simple signe devant
les autres bits ; il pèse -128, ce qui donne -128 + 3.

]]> -125

]]> Bonne réponse : -128 + 3 = -125. Les sept autres bits gardent
leurs poids habituels, seul le premier est négatif.

]]> Numération et représentation des entiers — Q34 : Une addition avec un nombre négatif Sur 8 bits en complément à deux, on additionne 3, codé
00000011₂, et -5, codé 11111011₂, en ignorant une éventuelle
retenue sortante. Quel est le résultat ?

]]> En complément à deux, soustraire revient à additionner l'opposé.
La retenue qui sort du huitième bit est ignorée, et le résultat se
lit avec le bit de poids fort à -128.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 00001000₂, soit 8

]]> Erreur : 8 serait 3 + 5. Le second opérande est
-5, et son codage en complément à deux fait bien soustraire.

]]> 11111110₂, soit 8

]]> Erreur : l'octet est correct mais sa lecture non. En complément
à deux, 11111110₂ vaut -2.

]]> Une erreur, les nombres négatifs ne s'additionnant pas en binaire

]]> Erreur : c'est tout l'intérêt du complément à deux : la même
addition fonctionne quel que soit le signe des opérandes.

]]> 11111110₂, soit -2

]]> Bonne réponse : l'addition binaire ordinaire donne 11111110₂
une fois la retenue sortante écartée, et cet octet se lit
-2 en complément à deux. Le même circuit sert aux deux
signes.

]]> Numération et représentation des entiers — Q35 : Conversion hexadécimal vers décimal Que vaut 2F₁₆ en décimal ?

]]> En base 16, les positions valent 1, 16, 256, et ainsi de
suite, et les chiffres de A à F valent 10 à 15.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 242

]]> Erreur : les poids sont inversés. Le chiffre de gauche est celui
des seizaines.

]]> 17

]]> Erreur : les chiffres ne s'additionnent pas simplement, le
premier vaut 2 × 16.

]]> 47

]]> Bonne réponse : 2 × 16 + 15 = 47. Chaque chiffre
hexadécimal pèse une puissance de 16.

]]> 215

]]> Erreur : les chiffres ont été convertis séparément puis collés.
Il faut pondérer le premier par 16.

]]> Numération et représentation des entiers — Q36 : Intérêt de l'écriture hexadécimale Pourquoi les adresses mémoire ou les codes de couleurs sont-ils
souvent écrits en hexadécimal plutôt qu'en binaire ?

]]> Seize est une puissance de deux : chaque chiffre hexadécimal
correspond à un groupe de quatre bits, d'où une notation compacte
et facile à convertir.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce qu'un chiffre hexadécimal remplace exactement quatre bits

]]> Bonne réponse : l'écriture est quatre fois plus courte et la
conversion avec le binaire se fait chiffre par chiffre, sans
calcul.

]]> Parce que les lettres de A à F rendent les nombres plus lisibles

]]> Erreur : les lettres ne sont qu'un moyen d'avoir seize symboles ;
l'avantage vient de la correspondance avec les groupes de quatre
bits.

]]> Parce que l'hexadécimal permet de coder des nombres plus grands

]]> Erreur : la base ne change pas les valeurs codables, seulement
la longueur de leur écriture.

]]> Parce que les processeurs calculent nativement en base seize

]]> Erreur : les circuits travaillent en binaire. L'hexadécimal est
une notation pour les humains.

]]> Numération et représentation des entiers — Q37 : Multiplier par deux en binaire Que vaut 1011₂ × 2, en binaire ?

]]> En base deux, multiplier par 2 revient à ajouter un 0 à droite,
exactement comme multiplier par 10 en base dix.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10110₂

]]> Bonne réponse : multiplier par deux décale tous les chiffres
d'un rang vers la gauche et ajoute un 0 à droite, comme
multiplier par dix ajoute un 0 en décimal.

]]> 101₂

]]> Erreur : retirer le dernier chiffre divise par deux, au lieu de
multiplier.

]]> 1100₂

]]> Erreur : c'est 1011₂ + 1. Multiplier par deux ne consiste pas
à ajouter un.

]]> 10111₂

]]> Erreur : le chiffre ajouté à droite est un 0, pas un 1. Un
nombre pair se termine toujours par 0 en binaire.

]]> Numération et représentation des entiers — Q38 : Une somme qui change de signe Un programme additionne 100 et 100 dans une variable sur 8
bits signés en complément à deux. Quel résultat obtient-il ?

]]> Sur 8 bits signés, les valeurs vont de -128 à 127. Au-delà, la
somme boucle : 200 devient -56.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 127, la valeur étant plafonnée au maximum

]]> Erreur : l'arithmétique binaire ne plafonne pas, elle boucle. Le
résultat repart du côté négatif.

]]> Une erreur signalée par le processeur

]]> Erreur : le dépassement passe souvent inaperçu, c'est ce qui le
rend dangereux. Python, lui, évite le problème avec des entiers
de taille illimitée.

]]> -56

]]> Bonne réponse : 200 dépasse 127. L'octet obtenu, 11001000₂,
a son bit de poids fort à 1 et se lit 200 - 256 = -56.

]]> 200

]]> Erreur : 200 ne tient pas sur 8 bits signés, dont le maximum
est 127. Le résultat déborde.

]]> Numération et représentation des entiers — Q39 : Le signe d'un entier codé sur huit bits En complément à deux sur huit bits, le motif 10010110 représente un
entier. Quel est son signe ?

]]> Le bit de poids fort est le bit de signe : il pèse -128 sur huit
bits, et sa présence rend la valeur négative.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Impossible à dire sans connaître la machine

]]> Erreur : la convention du complément à deux suffit, le bit de
poids fort porte le signe.

]]> Nul, le motif n'étant pas valide en complément à deux

]]> Erreur : tout motif de huit bits représente un entier entre
-128 et 127.

]]> Négatif, le bit de poids fort étant 1

]]> Bonne réponse : en complément à deux, le bit de poids fort
vaut 1 pour les négatifs et 0 pour les positifs. Ici le
motif représente -106.

]]> Positif, le bit de poids fort étant 1

]]> Erreur : la valeur du bit de poids fort est juste, mais sa
lecture est inversée ; 1 signale un négatif.

]]> Numération et représentation des entiers — Q40 : La plage des entiers signés sur n bits Quels entiers peut-on représenter en complément à deux sur 16
bits ?

]]> Sur n bits, le complément à deux couvre [-2ⁿ⁻¹, 2ⁿ⁻¹ - 1] :
les 2ⁿ motifs sont partagés en deux moitiés inégales d'un.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc De 0 à 65535

]]> Erreur : c'est la plage des entiers non signés sur 16 bits.

]]> De -32768 à 32767

]]> Bonne réponse : la moitié des 2¹⁶ motifs sert aux
négatifs, de -2¹⁵ à -1, l'autre moitié aux positifs
et à zéro, de 0 à 2¹⁵ - 1.

]]> De -65535 à 65535

]]> Erreur : cela demanderait 2 × 65535 + 1 motifs, plus que
les 2¹⁶ disponibles.

]]> De -32767 à 32767

]]> Erreur : la plage n'est pas symétrique, il y a un négatif de
plus que de positifs.

]]> Numération et représentation des entiers — Q41 : Une addition qui déborde dans le bit de signe Une machine additionne 127 et 1 en complément à deux sur
huit bits, sans détecter le dépassement. Quel résultat
affiche-t-elle ?

]]> Additionner deux positifs peut donner un négatif en complément à
deux : c'est le dépassement de capacité, invisible sans
vérification.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 127, la valeur étant plafonnée au maximum

]]> Erreur : rien ne plafonne, le motif continue au-delà et change
de signe.

]]> -128, la retenue ayant basculé le bit de signe

]]> Bonne réponse : 128 dépasse 127 ; son motif sur huit bits
a le bit de poids fort à 1 et se lit 128 - 256 = -128.

]]> 128, l'addition de deux positifs étant toujours exacte

]]> Erreur : 128 ne tient pas sur sept bits de valeur, le
résultat déborde.

]]> 0, le dépassement remettant le résultat à zéro

]]> Erreur : seule la retenue sortante est perdue, pas les autres
bits.

]]> Numération et représentation des entiers — Q42 : Conversion décimal vers hexadécimal Comment s'écrit 171 en hexadécimal ?

]]> Divisions successives par 16 : les restes, lus du dernier au
premier, forment l'écriture hexadécimale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0xAB

]]> Bonne réponse : 171 = 10 × 16 + 11 ; on écrit chaque
reste avec un chiffre hexadécimal, de 0 à 9 puis de A
à F, du dernier quotient au premier reste.

]]> 0x1011

]]> Erreur : les restes 10 et 11 ont été recopiés en
décimal au lieu d'être convertis en chiffres hexadécimaux.

]]> 0xBA

]]> Erreur : les restes sont écrits dans l'ordre inverse ; le
dernier quotient donne le chiffre de gauche.

]]> 0x171

]]> Erreur : écrire les chiffres décimaux après 0x donne un tout
autre nombre.

]]> Numération et représentation des entiers — Q43 : Comparer deux écritures hexadécimales Lequel de 0x9A et 0xA0 est le plus grand ?

]]> Comparer deux nombres hexadécimaux de même longueur se fait
chiffre par chiffre depuis la gauche, les lettres valant plus que
les chiffres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0xA0, qui vaut 160

]]> Bonne réponse : 0x9A vaut 154 et 0xA0 vaut 160.
En hexadécimal, les lettres A à F valent 10 à 15 et
dépassent donc les chiffres.

]]> 0x9A, qui vaut 154

]]> Erreur : 0x9A vaut bien 154, mais c'est le plus petit
des deux.

]]> Les deux sont égaux

]]> Erreur : deux écritures hexadécimales différentes désignent
deux nombres différents.

]]> Impossible à comparer sans passer par le binaire

]]> Erreur : on compare en convertissant en décimal, ou chiffre
par chiffre depuis la gauche.

]]>