$course$/QCM de NSI/Terminale/Calculabilité et décidabilité Notion de programme en tant que donnée, calculabilité,
décidabilité, indépendance de la calculabilité vis-à-vis
du langage de programmation, problème de l'arrêt et son
indécidabilité (présentés sans formalisme théorique).

]]> Calculabilité et décidabilité — Q01 : Programme et donnée Pourquoi peut-on dire qu'un programme est aussi une donnée ?

]]> Un compilateur prend en entrée un programme (donnée
texte) et en produit un autre (programme exécutable).
Un interpréteur Python lit un programme et l'exécute
ligne par ligne. Cette dualité programme/donnée
ouvre la voie à toute la métacomputation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un fichier d'octets, lu par d'autres programmes

]]> Bonne réponse : sur un disque, un fichier .py
est une suite d'octets exactement comme une
image ou un texte. C'est cette idée qui rend
possibles les compilateurs, les interpréteurs
ou la mise à jour automatique des logiciels.

]]> Parce qu'un programme contient toujours des données en entrée

]]> Erreur : on parle ici du programme lui-même
considéré comme donnée, pas de ses entrées.

]]> Parce qu'il occupe de la mémoire vive

]]> C'est vrai mais incomplet : la phrase clé est
que le programme peut être lu par un autre programme, pas seulement chargé en mémoire.

]]> Cette affirmation est fausse

]]> Erreur : c'est au contraire l'un des principes
fondamentaux de l'informatique.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q02 : Programme manipulé par un autre Lequel des exemples suivants illustre un programme manipulé comme une donnée ?

]]> Les compilateurs, les interpréteurs, les
débogueurs, les antivirus ou encore les
transpileurs sont autant de programmes dont
l'entrée est elle-même un programme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un programme qui calcule un déterminant de matrice

]]> Erreur : la donnée traitée est une matrice
de nombres, pas un programme.

]]> Un programme qui calcule la somme de deux nombres saisis par l'utilisateur

]]> Erreur : ici, les données sont des nombres,
pas un programme.

]]> Un compilateur qui lit un fichier .c et produit un fichier exécutable

]]> Bonne réponse : pour le compilateur, le fichier
.c est une donnée d'entrée comme une autre.
Sa sortie est elle-même un programme.

]]> Un programme qui affiche « Bonjour »

]]> Erreur : aucun programme n'est manipulé comme
donnée dans cet exemple.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q03 : Fonction calculable Que signifie qu'une fonction f est calculable
au sens informatique ?

]]> La calculabilité capture l'idée de
« ce qu'on peut résoudre par algorithme ». Elle
ne dit rien sur la rapidité (cette question relève
de la complexité) ni sur la facilité d'écriture
(qui dépend du langage et du programmeur).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un algorithme calcule f en temps fini

]]> Bonne réponse : la calculabilité dit qu'on
dispose d'un procédé algorithmique fini pour
obtenir le résultat. Le temps d'exécution
peut être très long, mais doit rester fini.

]]> La fonction s'exécute en moins d'une seconde

]]> Erreur : la calculabilité n'impose aucune
contrainte de temps. Seule l'existence d'un
algorithme fini est requise.

]]> La fonction est continue

]]> Erreur : la continuité est une notion
mathématique sans rapport avec la
calculabilité informatique.

]]> La fonction renvoie toujours un entier

]]> Erreur : aucune contrainte sur le type de
sortie. Une fonction calculable peut renvoyer
des chaînes, des listes, des booléens, etc.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q04 : Exemple de fonction calculable Lequel des éléments suivants définit une fonction
calculable ?

]]> Les fonctions arithmétiques usuelles, les
fonctions sur les chaînes, le tri d'une liste,
l'évaluation d'une expression : toutes sont
calculables. L'indécidabilité concerne au contraire
les questions portant sur le comportement des
programmes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une fonction qui à un texte associe « oui » s'il représente un programme correct

]]> Erreur : si « correct » signifie « sans bug
logique », ce problème est lié à
l'indécidabilité de l'arrêt et n'est pas
calculable en général.

]]> La fonction qui à un programme associe le nombre exact d'instructions qu'il exécutera dans tous les cas

]]> Erreur : pour certaines entrées, le programme
peut ne jamais s'arrêter ; on ne peut donc pas
toujours répondre.

]]> La fonction qui à un entier n associe son carré n²

]]> Bonne réponse : un algorithme trivial
(return n * n) calcule cette fonction en
temps fini pour tout entier n.

]]> Une fonction qui prend en entrée un programme et renvoie « oui » s'il s'arrête, « non » sinon

]]> Erreur : c'est précisément le problème de
l'arrêt, qui est indécidable, donc non
calculable.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q05 : Indépendance du langage Une fonction est calculable. Que peut-on en
déduire sur les langages de programmation ?

]]> Tous les langages de programmation usuels sont
« équivalents » en pouvoir calculatoire : ce qu'on
peut programmer dans l'un, on peut le programmer
dans les autres. Les différences se situent au
niveau de la lisibilité, de la performance ou de
l'écosystème, pas de la calculabilité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle nécessite obligatoirement un langage récursif

]]> Erreur : on peut tout calculer avec des
boucles itératives, sans récursion explicite.

]]> Elle s'implémente dans tout langage universel

]]> Bonne réponse : la calculabilité ne dépend
pas du langage utilisé. Tout langage assez
expressif (autorisant boucles ou récursivité,
conditions, mémoire) peut implémenter
n'importe quelle fonction calculable.

]]> Elle ne peut être écrite qu'en Python

]]> Erreur : Python n'a aucune capacité
algorithmique particulière. Les autres
langages universels font tout aussi bien.

]]> Le résultat de la fonction varie selon le langage utilisé

]]> Erreur : la fonction (au sens mathématique) est
la même quel que soit le langage qui
l'implémente.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q06 : Problème décidable Qu'appelle-t-on un problème décidable ?

]]> Exemples décidables : « cet entier est-il pair ? »,
« ce mot est-il dans le dictionnaire ? », « ce
nombre est-il premier ? ». Pour chacun, on dispose
d'un algorithme qui répond toujours en temps fini.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un problème facile à résoudre

]]> Erreur : la décidabilité ne dit rien sur la
difficulté. Beaucoup de problèmes décidables
sont très coûteux à résoudre.

]]> Un problème dont la réponse est connue par avance

]]> Erreur : la décidabilité concerne l'existence
d'un algorithme général, pas la connaissance
a priori.

]]> Un problème qui n'a pas de solution

]]> Erreur : c'est exactement l'inverse. Un
problème décidable a une solution
algorithmique systématique.

]]> Un algorithme répond oui/non en temps fini

]]> Bonne réponse : un problème décidable est un
problème de décision (« oui »/« non ») dont
la réponse est calculable pour toutes les
entrées. L'algorithme doit toujours
terminer.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q07 : Exemple de problème décidable Lequel de ces problèmes est clairement décidable ?

]]> Beaucoup de propriétés syntaxiques sur les
programmes (longueur du code, présence d'un
mot-clé...) sont décidables, mais les propriétés
sémantiques (comportement, terminaison,
résultat) sont rarement décidables.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Étant donné deux programmes, dire s'ils calculent la même fonction sur toute entrée

]]> Erreur : c'est aussi un problème indécidable
en général.

]]> Étant donné un entier n, déterminer s'il est divisible par 7

]]> Bonne réponse : un simple test n % 7 == 0
répond toujours en temps fini, pour tout
entier n.

]]> Étant donné un programme Python, dire s'il s'arrêtera sur l'entrée 0

]]> Erreur : c'est une instance du problème de
l'arrêt, qui est indécidable en général.

]]> Étant donné un programme, dire s'il contient un bug logique

]]> Erreur : ce problème est indécidable au sens
général (lié au problème de l'arrêt).

]]> Calculabilité et décidabilité — Q08 : Problème indécidable Qu'est-ce qu'un problème indécidable ?

]]> Un problème indécidable est une limite théorique de l'informatique : il existe des
questions qu'aucun ordinateur, présent ou futur,
ne pourra résoudre dans le cas général.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucun algorithme ne peut répondre pour toute entrée

]]> Bonne réponse : il ne s'agit pas de dire
qu'on n'a pas trouvé d'algorithme : on a
démontré qu'il n'en existe pas, et n'en
existera jamais.

]]> Un problème qui demande beaucoup de mémoire

]]> Erreur : la consommation mémoire n'a aucun
rapport avec la décidabilité.

]]> Un problème dont la réponse change selon la machine utilisée

]]> Erreur : la décidabilité est indépendante de
la machine.

]]> Un problème difficile, qu'on n'a pas encore résolu

]]> Erreur : « indécidable » est un résultat
mathématique d'inexistence, pas d'attente.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q09 : Énoncé du problème de l'arrêt Comment énonce-t-on le problème de l'arrêt ?

]]> L'enjeu : disposer d'un programme universel
arrete?(P, e) qui, donné un programme P et
une entrée e, répondrait toujours « oui » si
P termine sur e, « non » sinon. Ce programme
n'existe pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc À quel moment faut-il interrompre une compilation ?

]]> Erreur : aucun rapport avec la calculabilité.

]]> Un algorithme peut-il prédire l'arrêt de tout programme ?

]]> Bonne réponse : c'est l'énoncé classique. La
réponse, démontrée par Turing en 1936, est
non.

]]> Comment arrêter un programme qui boucle sans fin du tout ?

]]> Erreur : la question pratique « arrêter un
programme » (avec Ctrl-C par exemple) n'a
rien à voir avec le problème théorique.

]]> Comment savoir combien de temps un programme va s'exécuter ?

]]> Erreur : c'est une question de complexité,
pas de calculabilité.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q10 : Statut du problème de l'arrêt Le problème de l'arrêt est :

]]> Démontrer l'indécidabilité de l'arrêt est l'un
des grands résultats fondateurs de l'informatique
théorique. Il pose une limite absolue à ce
que les ordinateurs peuvent décider.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Décidable, mais coûteux

]]> Erreur : il est mathématiquement démontré
qu'aucun algorithme ne peut le résoudre.

]]> Décidable, et résolu par les antivirus

]]> Erreur : les antivirus utilisent des
heuristiques (signatures, comportements
suspects), pas une décision exacte. Une
détection parfaite reviendrait à résoudre
l'arrêt.

]]> Indécidable

]]> Bonne réponse : aucun algorithme ne peut
décider, dans le cas général, si un
programme arbitraire s'arrête sur une entrée
donnée. C'est un théorème dû à Alan Turing
(1936).

]]> Inconnu de la communauté scientifique

]]> Erreur : le résultat est connu et démontré
depuis 1936.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q11 : Idée de la démonstration L'argument classique de Turing pour montrer que
l'arrêt est indécidable consiste à supposer qu'on
possède un tel décideur, puis à :

]]> L'idée force est l'auto-référence : on
construit un programme qui interroge le décideur
à propos de lui-même puis fait le contraire de la
prédiction. Le décideur ne peut donc pas exister.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Réécrire les programmes en machine de Turing

]]> Erreur : la machine de Turing est un cadre
formel possible, mais ce n'est pas l'idée
centrale de la preuve.

]]> Programmer le décideur en plusieurs langages et comparer

]]> Erreur : la démonstration ne dépend pas du
langage utilisé.

]]> Construire un programme qui se contredit via le décideur

]]> Bonne réponse : à partir du décideur supposé
arrete?, on fabrique un programme D qui
fait l'inverse de ce que prédit arrete? sur
son propre code. On obtient alors une
contradiction.

]]> Mesurer le temps d'exécution de tous les programmes possibles

]]> Erreur : aucun rapport avec la démonstration
d'indécidabilité.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q12 : Conséquence pratique Quelle conséquence pratique l'indécidabilité du
problème de l'arrêt a-t-elle sur le développement
logiciel ?

]]> L'indécidabilité de l'arrêt entraîne celle de nombreuses autres propriétés : équivalence de deux programmes, absence de bugs, terminaison sur toutes les entrées, etc. Les outils d'analyse de code sont donc nécessairement incomplets.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On ne peut pas détecter toutes les boucles infinies

]]> Bonne réponse : aucun programme ne pourra repérer toutes les boucles infinies ou tous les bugs de terminaison. C'est pourquoi les tests, les revues de code et les assertions restent indispensables.

]]> Plus aucun nouveau bug ne peut être trouvé

]]> Erreur : c'est l'inverse, on continue à
trouver des bugs régulièrement.

]]> Les ordinateurs ne peuvent pas exécuter de programmes

]]> Erreur : aucun rapport. L'indécidabilité ne
concerne que la prédiction du
comportement des programmes.

]]> Les langages modernes ne contiennent plus jamais de boucles infinies

]]> Erreur : on peut tout à fait écrire des
boucles infinies dans tous les langages,
volontairement ou non.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q13 : Calculable ou décidable Quelle est la différence entre calculable et
décidable ?

]]> Tout problème décidable correspond à une fonction
indicatrice calculable. La réciproque est vraie :
pour qu'un problème de décision soit décidable,
il faut et il suffit que sa fonction indicatrice
soit calculable.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc « Calculable » signifie « facile », « décidable » signifie « difficile »

]]> Erreur : aucun rapport avec la difficulté.

]]> « Calculable » concerne les nombres, « décidable » concerne les chaînes

]]> Erreur : aucune contrainte sur le type des
données.

]]> Calculable pour les fonctions, décidable pour les problèmes oui/non

]]> Bonne réponse : un problème de décision est
décidable lorsque la fonction associée
(« oui » ou « non ») est calculable et que
l'algorithme termine toujours. Les deux
notions sont étroitement liées.

]]> Aucune différence, ce sont des synonymes

]]> Erreur : « calculable » est plus général ;
« décidable » est réservé aux problèmes à
réponse binaire.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q14 : Cas particuliers Pour certains programmes, on peut savoir
facilement s'ils s'arrêtent. Ce qui est
indécidable, c'est :

]]> L'indécidabilité concerne l'existence d'un
algorithme général. Cas par cas, beaucoup
de programmes peuvent être analysés, parfois
automatiquement. Mais il existera toujours des
cas où aucun algorithme général ne peut conclure.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc De le faire pour les programmes écrits en Python

]]> Erreur : la limite ne dépend pas du langage.

]]> De le faire pour les programmes courts

]]> Erreur : pour les programmes courts, l'analyse
humaine ou des outils dédiés peuvent souvent
répondre. C'est le cas général qui est
indécidable.

]]> Le faire pour tout programme, en général

]]> Bonne réponse : un humain peut analyser un
petit programme et raisonner sur sa
terminaison. Ce qui est impossible, c'est de
construire un algorithme qui réussisse pour
n'importe quel programme et n'importe
quelle entrée.

]]> De le faire en moins d'une heure

]]> Erreur : aucun rapport avec la durée
d'analyse.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q15 : Machine universelle L'idée d'ordinateur universel repose sur
laquelle des affirmations suivantes ?

]]> C'est cette universalité qui rend possibles les
ordinateurs polyvalents : un seul appareil
exécute traitement de texte, jeux, navigateur,
compilateurs, etc., simplement en chargeant des
programmes différents.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un seul appareil exécute tout programme fourni en entrée

]]> Bonne réponse : c'est exactement le concept
de machine universelle de Turing (1936) et,
en pratique, de tout ordinateur moderne.

]]> Tous les ordinateurs ont le même processeur

]]> Erreur : il existe de nombreux processeurs
différents (x86, ARM, RISC-V…). L'universalité
est une propriété logique, pas matérielle.

]]> Tout calcul peut s'effectuer instantanément

]]> Erreur : aucun rapport avec la vitesse.

]]> Tous les programmes peuvent s'écrire sans boucles

]]> Erreur : sans rapport avec l'universalité.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q16 : Interpréteur écrit dans son langage On peut écrire en Python un interpréteur de Python, c'est-à-dire un programme qui lit le texte d'un autre programme Python et l'exécute. Que montre cet exemple ?

]]> Interpréteurs, compilateurs et systèmes d'exploitation manipulent tous des programmes comme des données. C'est aussi ce qui permet de télécharger un logiciel, de le stocker, puis de l'exécuter.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Que le problème de l'arrêt devient décidable pour Python

]]> Erreur : l'interpréteur exécute le programme qu'il reçoit, il ne prédit pas s'il s'arrêtera. Le problème de l'arrêt reste indécidable, quel que soit le langage.

]]> Que Python calcule plus de fonctions que les autres langages

]]> Erreur : tous les langages de programmation usuels calculent les mêmes fonctions. Écrire un interpréteur ne change rien aux capacités de calcul du langage.

]]> Un programme peut exécuter un autre programme

]]> Bonne réponse : l'interpréteur traite le texte d'un programme comme une donnée d'entrée et l'exécute. C'est l'expression concrète de la dualité programme/donnée.

]]> Que Python est plus rapide que les autres langages

]]> Erreur : aucun rapport avec la performance.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q17 : Détection de logiciels malveillants Pourquoi est-il impossible d'écrire un
antivirus parfait qui détecterait tous les
logiciels malveillants sans aucune erreur ?

]]> Cet exemple est souvent cité pour illustrer les
conséquences pratiques de l'indécidabilité.
Les antivirus bons en pratique combinent
détection par signature, analyse comportementale
et apprentissage statistique, toujours sans
garantie absolue.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce que les antivirus sont mal programmés

]]> Erreur : la limite est théorique, elle ne
dépend pas de la qualité de l'implémentation.

]]> Cela rejoint le problème de l'arrêt, indécidable

]]> Bonne réponse : décider si un programme aura
un certain comportement (lire un fichier
sensible, par exemple) est en général
indécidable. Les antivirus s'appuient donc
sur des heuristiques (signatures,
comportements suspects), jamais sur une
décision exacte.

]]> Parce que les antivirus ne peuvent pas analyser un fichier

]]> Erreur : ils peuvent l'analyser, mais ne
peuvent pas en déduire avec certitude tout
son comportement.

]]> Parce que les antivirus sont trop lents

]]> Erreur : la lenteur n'est pas la cause de
l'imperfection. Même avec un temps infini,
aucun algorithme ne peut décider tous les
cas.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q18 : Identifier des problèmes décidables On considère trois problèmes : (1) déterminer si un
entier est premier ; (2) chercher si un caractère
apparaît dans une chaîne ; (3) déterminer si un programme
quelconque finit par s'arrêter. Lesquels sont
décidables ? Sélectionnez la proposition correcte.

]]> La frontière passe entre les questions
syntaxiques ou portant sur des données
finies (souvent décidables) et les questions
portant sur le comportement d'un programme
(souvent indécidables).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucun de ces problèmes n'est décidable

]]> Erreur : la primalité et la recherche d'un
caractère sont décidables.

]]> Les trois sont décidables

]]> Erreur : le problème de l'arrêt est
indécidable.

]]> Tous les problèmes énoncés en français sont décidables

]]> Erreur : le langage de l'énoncé n'a aucun
rapport avec la décidabilité.

]]> Les deux premières oui, le problème de l'arrêt non

]]> Bonne réponse : les deux premières questions
se résolvent par un algorithme simple et
terminant ; la dernière est l'archétype du
problème indécidable.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q19 : Programme à terminaison non triviale Considérons le programme suivant qui prend en
entrée un entier n > 0 :

`python
while n != 1:
if n % 2 == 0:
n = n // 2
else:
n = 3 * n + 1
`

Nour l'exécute pour n = 27 : le programme s'arrête après 111 passages dans la boucle. Laquelle des affirmations suivantes cet unique essai permet-il de réfuter ?

]]> Un test peut réfuter une affirmation générale en exhibant un contre-exemple, mais il ne peut pas prouver qu'un programme s'arrête pour toutes les entrées. Même pour un programme de cinq lignes, prouver la terminaison peut être très difficile, et aucune méthode automatique ne s'applique à tous les programmes, puisque le problème de l'arrêt est indécidable.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le programme ne s'arrête pour aucun entier impair

]]> Bonne réponse : 27 est impair et le programme s'arrête pour lui. Un seul contre-exemple suffit à réfuter une affirmation qui porte sur tous les entiers impairs.

]]> Le programme s'arrête pour tout entier n > 0

]]> Erreur : l'essai est compatible avec cette affirmation, mais ne la démontre pas. Aucun nombre fini d'essais réussis ne prouve qu'un programme s'arrête pour une infinité d'entrées.

]]> Le programme s'arrête pour tout entier pair

]]> Erreur : l'essai porte sur 27, un entier impair, et ne dit rien des entiers pairs. Cette affirmation n'est ni confirmée ni réfutée par cet essai.

]]> Il existe un entier n > 0 pour lequel le programme ne s'arrête pas

]]> Erreur : l'essai montre que 27 n'est pas un tel entier, mais un autre entier pourrait l'être. Pour réfuter cette affirmation, il faudrait vérifier tous les entiers, ce qu'aucun test ne permet.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q20 : Une fonction non calculable Pourquoi la fonction « f(P) vaut 1 si le
programme P s'arrête sur l'entrée vide, 0
sinon » n'est-elle pas calculable ?

]]> Toutes les fonctions « qui s'amusent à prédire
le comportement » d'un programme arbitraire
tendent à être non calculables. C'est l'écho
direct du théorème de Turing.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce que la fonction renvoie un entier

]]> Erreur : aucun rapport avec le type de
sortie.

]]> Parce qu'on ne sait pas représenter un programme comme une donnée

]]> Erreur : on sait parfaitement représenter un
programme comme une donnée (texte, octets...).
C'est précisément le concept clé de la
calculabilité.

]]> Parce que les programmes ne sont pas tous écrits en Python

]]> Erreur : la calculabilité est indépendante
du langage de programmation.

]]> La calculer reviendrait à décider l'arrêt, impossible

]]> Bonne réponse : tout algorithme calculant
f serait un décideur du problème de
l'arrêt. Comme ce dernier est indécidable,
f n'est pas calculable.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q21 : Histoire : Alan Turing Quelle contribution majeure Alan Turing a-t-il
apportée en 1936 ?

]]> Turing (1912-1954) est l'un des fondateurs
de l'informatique théorique. Son article de 1936
précède même l'apparition des premiers
ordinateurs physiques.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il a personnellement inventé tout le réseau Internet

]]> Erreur : Internet est apparu dans les années
1960-70 (ARPANET), bien après Turing.

]]> Il a écrit le premier compilateur

]]> Erreur : le premier compilateur est
généralement attribué à Grace Hopper (1952).

]]> Il a inventé le langage Python

]]> Erreur : Python a été créé par Guido van
Rossum en 1991, des décennies après
Turing.

]]> Fonder la calculabilité, prouver l'arrêt indécidable

]]> Bonne réponse : son article « On Computable
Numbers » introduit la machine universelle
(notion d'ordinateur programmable) et
démontre l'indécidabilité de l'arrêt.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q22 : Calculabilité et complexité Un problème décidable mais qui demande un
temps astronomique en pratique :

]]> Décidabilité et complexité sont deux questions
distinctes : la décidabilité demande s'il existe
un algorithme ; la complexité demande à quel
coût (temps, mémoire). Un problème peut être
« décidable mais inutilisable en pratique ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc N'est plus un problème

]]> Erreur : un problème difficile reste
un problème. Sa décidabilité et sa
complexité sont des résultats
mathématiques permanents, qu'on sache
ou non le résoudre rapidement.

]]> Devient indécidable

]]> Erreur : l'indécidabilité signifie qu'aucun
algorithme n'existe, pas qu'il existe
mais soit lent.

]]> Disparaît complètement automatiquement après quelques années

]]> Erreur : la décidabilité et la
complexité d'un problème sont des
propriétés mathématiques. Elles ne
disparaissent ni avec le temps qui
passe, ni avec les progrès matériels.

]]> Il reste décidable, le temps n'entre pas en compte

]]> Bonne réponse : un problème peut être
décidable et avoir une complexité telle que
l'algorithme reste inutilisable en pratique.
La distinction calculable / décidable est
séparée de la question de l'efficacité.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q24 : Langages équivalents Deux langages de programmation A et B sont
dits équivalents en calculabilité si :

]]> L'équivalence en calculabilité justifie
l'expression « tout langage de programmation
universel ». Quel que soit le langage choisi,
les questions calculables et décidables sont
les mêmes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les mêmes fonctions y sont calculables

]]> Bonne réponse : tous les langages usuels
(Python, C, Java, OCaml, Haskell…) sont
équivalents en ce sens. C'est précisément
ce qui justifie qu'on parle de
« calculabilité » sans préciser le langage.

]]> Ils sont compilés par le même compilateur

]]> Erreur : le compilateur ne change pas la
puissance du langage.

]]> Ils s'exécutent à la même vitesse

]]> Erreur : la vitesse est une question de
complexité, pas de calculabilité.

]]> Ils ont la même syntaxe

]]> Erreur : la syntaxe peut être très
différente entre deux langages équivalents.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q25 : Synthèse : Limites de la calculabilité Laquelle des affirmations suivantes résume le
mieux l'apport de la calculabilité à
l'informatique ?

]]> La calculabilité est une boussole : elle dit ce
qui est faisable algorithmiquement, ce qui ne
l'est pas, et invite donc à choisir des
stratégies pragmatiques (heuristiques, tests,
preuves partielles) lorsqu'on touche aux
limites.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La calculabilité dépend du processeur utilisé

]]> Erreur : elle est indépendante du matériel.

]]> La calculabilité ne sert à rien dans la pratique

]]> Erreur : elle éclaire la conception des
outils d'analyse statique, des antivirus,
des compilateurs, etc.

]]> Tout problème pourra finir par être résolu avec des ordinateurs assez puissants

]]> Erreur : c'est précisément ce que l'indé-
cidabilité réfute. Aucune puissance de
calcul ne suffit à résoudre un problème
indécidable.

]]> Il existe des limites théoriques (1936) à ce qu'un ordinateur décide

]]> Bonne réponse : la calculabilité fixe des
frontières que la technologie ne peut
franchir. Elle invite à concevoir des
analyses incomplètes mais utiles, et à
combiner outils automatiques, tests et
revues humaines.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q26 : Frontière calculable / décidable / faisable Considérons les trois questions suivantes :
(a) « Cet entier est-il pair ? », (b) « Existe-t-il
un sous-ensemble d'une liste de cent entiers dont
la somme vaut zéro ? », (c) « Ce programme
arbitraire s'arrête-t-il sur une entrée donnée ? ».
Comment se classent-elles ?

]]> Trois niveaux à distinguer : décidable et faisable (parité, tri) ; décidable mais coûteux (essayer tous les sous-ensembles d'une grande liste) ; indécidable (arrêt). La calculabilité dit si un algorithme existe ; le coût d'exécution dit ensuite s'il est utilisable en pratique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les trois sont décidables et faciles à résoudre

]]> Erreur : (c) est indécidable, et (b), bien que décidable, demande par la méthode directe d'examiner jusqu'à 2¹⁰⁰ sous-ensembles. Seule (a) est à la fois décidable et facile.

]]> (a) facile, (b) indécidable, (c) décidable

]]> Erreur : c'est exactement l'inverse pour (b)
et (c). (b) est décidable mais coûteux ; (c)
est l'archétype de l'indécidable.

]]> (a) facile, (b) décidable mais coûteux, (c) indécidable

]]> Bonne réponse : (a) se résout par un simple test de parité. (b) est décidable : un algorithme qui énumère les 2¹⁰⁰ sous-ensembles termine toujours, mais leur nombre rend ce calcul irréalisable en pratique. (c) est l'arrêt, démontré indécidable. Cette graduation montre que « décidable » ne signifie pas « facile ».

]]> Les trois sont indécidables

]]> Erreur : (a) et (b) sont parfaitement
décidables. Pour (b), un algorithme de force
brute énumère tous les sous-ensembles, ce qui
termine toujours en temps fini.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q27 : L'argument d'auto-référence en pratique Supposons qu'on dispose d'un programme arrete?(P, e)
qui répondrait toujours True ou False. Pour
construire la contradiction, on définit :
`python
def D(P):
if arrete?(P, P):
while True: pass
return

Que se passe-t-il quand on appelle D(D)` ?

]]> L'argument est un parent direct du paradoxe du
menteur (« cette phrase est fausse ») et du
théorème d'incomplétude de Gödel. L'auto-
référence permet de fabriquer un objet
contradictoire à partir de tout candidat
« décideur universel », rendant son existence
impossible.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La contradiction n'apparaît que si Python est
compilé, pas interprété

]]> Erreur : le langage ou son mode d'exécution
n'a aucun rôle. La preuve est mathématique et
se transpose à n'importe quel langage de
programmation universel.

]]> Le programme arrete? retournerait simplement
une erreur, ce qui résoudrait la situation

]]> Erreur : on suppose au départ que arrete?
répond toujours par True ou False,
jamais par une erreur. C'est précisément ce
que la preuve montre impossible : un tel
oracle parfait ne peut exister.

]]> Quelle que soit la réponse de arrete?(D, D),
le comportement réel de D(D) la contredit :
arrete? ne peut donc pas exister

]]> Bonne réponse : c'est le cœur de la preuve de
Turing. Si arrete?(D, D) renvoie True,
D(D) entre dans la boucle infinie au lieu de
s'arrêter ; s'il renvoie False, D(D)
renvoie immédiatement au lieu de boucler. Dans
les deux cas, la prédiction est démentie :
aucune valeur de retour ne peut être correcte,
donc la supposition initiale (existence
d'arrete?) est fausse. C'est un raisonnement
par l'absurde fondé sur l'auto-référence (D
reçoit son propre code).

]]> Le programme D(D) ne pose aucun problème :
arrete? répond simplement par défaut

]]> Erreur : c'est précisément le piège. La
contradiction ne disparaît pas en choisissant
une réponse par défaut. Quelle que soit la
réponse de arrete?(D, D), on construit un
programme qui fait l'inverse, donc la
prédiction est fausse.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q28 : L'arrêt d'un programme donné Le problème de l'arrêt est indécidable. Peut-on malgré tout savoir
si ce programme s'arrête ?
`python
i = 0
while i < 10:
i = i + 1
`

]]> L'indécidabilité est une impossibilité générale : pour un programme
particulier, un raisonnement peut très bien établir l'arrêt.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, aucun programme ne peut être jugé, le problème étant indécidable

]]> Erreur : l'indécidabilité porte sur l'existence d'une méthode
générale, pas sur chaque programme pris isolément.

]]> Non, car la boucle while interdit toute conclusion

]]> Erreur : une boucle while dont le compteur progresse vers la
borne se termine, et on peut le démontrer.

]]> Oui, mais seulement en l'exécutant, sans pouvoir le prouver

]]> Erreur : un raisonnement sur la variable i prouve l'arrêt
sans exécution.

]]> Oui, en dix tours ; l'indécidabilité vise le cas général

]]> Bonne réponse : i augmente de un à chaque tour et atteint
10. L'indécidabilité affirme qu'aucun procédé unique ne
tranche pour tous les programmes, pas qu'aucun programme ne
peut être jugé.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q29 : Exécuter pour savoir Pour savoir si un programme s'arrête, on l'exécute pendant une
heure. Au bout de l'heure, il tourne encore. Qu'a-t-on appris ?

]]> Simuler un programme permet de confirmer un arrêt, jamais d'établir
un non-arrêt : c'est une des raisons de l'indécidabilité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Qu'il ne s'arrêtera jamais, une heure étant largement suffisante

]]> Erreur : certains programmes s'arrêtent après des jours ou des
siècles de calcul.

]]> Qu'il contient une erreur de syntaxe non détectée

]]> Erreur : une erreur de syntaxe empêche le lancement, elle ne
fait pas tourner le programme.

]]> Rien de certain, il peut s'arrêter plus tard ou jamais

]]> Bonne réponse : l'exécution ne tranche que si le programme
s'arrête. Tant qu'il tourne, les deux issues restent possibles,
et aucune durée d'attente ne lève le doute.

]]> Qu'il s'arrêtera, tout programme finissant par terminer

]]> Erreur : while True: pass ne termine jamais.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q30 : Deux programmes équivalents Existe-t-il un algorithme qui, pour deux programmes quelconques,
décide s'ils renvoient toujours le même résultat pour les mêmes
entrées ?

]]> Beaucoup de questions sur le comportement des programmes se
ramènent au problème de l'arrêt et héritent de son indécidabilité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, sauf si les deux programmes sont écrits dans le même langage

]]> Erreur : le langage ne change rien, le problème reste
indécidable.

]]> Non, ce problème est indécidable, comme celui de l'arrêt

]]> Bonne réponse : s'il existait, on comparerait un programme
quelconque à un programme qui ne s'arrête jamais, et l'on
saurait s'il s'arrête sur au moins une entrée, ce qui est
impossible. L'équivalence de programmes est indécidable.

]]> Oui, en les exécutant sur toutes les entrées possibles

]]> Erreur : les entrées sont en nombre infini, l'exécution ne
finirait jamais.

]]> Oui, en comparant les deux codes source ligne à ligne

]]> Erreur : deux textes différents peuvent calculer la même
chose, une boucle et une formule par exemple.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q31 : S'arrêter sur toutes les entrées Le problème de l'arrêt porte sur un programme et une entrée
donnée. Le problème « ce programme s'arrête-t-il sur toutes les
entrées ? » est-il décidable ?

]]> La technique de réduction transfère l'indécidabilité : si résoudre
un problème B permettait de résoudre le problème de l'arrêt, B
est indécidable.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, mais il devient décidable pour les entrées entières

]]> Erreur : la nature des entrées ne change rien, les entiers
suffisent à coder n'importe quelle donnée.

]]> Oui, il suffit de tester chaque entrée l'une après l'autre

]]> Erreur : les entrées sont infinies, et une seule exécution qui
ne finit pas bloque le test.

]]> Oui, car il est plus simple que le problème de l'arrêt

]]> Erreur : il est au moins aussi difficile, puisqu'il permettrait
de résoudre le problème de l'arrêt.

]]> Non, il est indécidable lui aussi, sans algorithme général

]]> Bonne réponse : pour un programme p et une entrée x, on
construit un programme qui ignore son entrée et exécute p
sur x ; il s'arrête sur toutes les entrées exactement quand
p s'arrête sur x. Décider l'un déciderait l'autre.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q32 : Un langage sans boucle `while` Dans un langage sans récursivité, dont les seules boucles sont des
for parcourant un range fixé avant la boucle, tout programme
s'arrête. Le problème de l'arrêt y est-il décidable ?

]]> Décidabilité de l'arrêt et puissance du langage vont en sens
inverse : garantir la terminaison coûte des fonctions calculables.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car les boucles for peuvent aussi être infinies

]]> Erreur : un for sur un range fixé fait un nombre de tours
connu d'avance.

]]> Non, le problème de l'arrêt est indécidable dans tout langage

]]> Erreur : l'indécidabilité vaut pour les langages capables de
tout calculer, ce qui n'est pas le cas ici.

]]> Oui, et ce langage est aussi puissant que Python

]]> Erreur : s'il l'était, le problème de l'arrêt y serait
indécidable.

]]> Oui, trivialement, mais ce langage ne peut pas tout calculer

]]> Bonne réponse : la réponse est toujours « oui ». Le prix à payer
est que ce langage ne peut pas exprimer toutes les fonctions
calculables, par exemple une recherche dont on ignore la durée.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q33 : Un ordinateur plus puissant Un ordinateur mille fois plus rapide permettrait-il de résoudre
le problème de l'arrêt ?

]]> Calculabilité et vitesse sont deux questions distinctes : la
première dit ce qui est possible, la seconde en combien de temps.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, la vitesse permettant d'explorer tous les cas

]]> Erreur : les cas sont en nombre infini, aucune vitesse finie ne
les épuise.

]]> Non, mais un ordinateur quantique le résoudrait

]]> Erreur : un ordinateur quantique calcule les mêmes fonctions,
parfois plus vite ; il ne franchit pas la limite.

]]> Non, la limite est mathématique et non matérielle

]]> Bonne réponse : la démonstration ne suppose rien sur la vitesse
ou la mémoire de la machine. Aucun progrès technique ne lève
une impossibilité logique.

]]> Oui, à condition d'y ajouter assez de mémoire

]]> Erreur : la mémoire n'intervient pas davantage dans
l'impossibilité.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q34 : Une propriété du texte d'un programme Le problème « le texte de ce programme contient-il le mot-clé
while ? » est-il décidable ?

]]> Distinguer les propriétés syntaxiques, toujours décidables, des
propriétés du comportement, souvent indécidables.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, un parcours du texte source suffit à répondre

]]> Bonne réponse : la question porte sur le texte, pas sur le
comportement. Une lecture du fichier répond en temps fini, pour
tout programme.

]]> Non, sauf si le programme s'arrête sur toute entrée

]]> Erreur : l'arrêt du programme n'a aucun rapport avec la
présence d'un mot dans son texte.

]]> Non, toute question sur un programme est indécidable

]]> Erreur : seules certaines questions sur le comportement le
sont ; les propriétés du texte se vérifient.

]]> Oui, mais seulement en exécutant le programme

]]> Erreur : nul besoin d'exécuter, il suffit de lire.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q35 : Lister tous les programmes Peut-on écrire un programme qui énumère, un par un, tous les
programmes Python possibles ?

]]> Les programmes forment un ensemble dénombrable : cette remarque
est au départ de la preuve qu'il existe des fonctions non
calculables.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, mais uniquement ceux dont on sait qu'ils s'arrêtent

]]> Erreur : l'énumération porte sur les textes, sans rien
décider de leur comportement.

]]> Non, car un programme ne peut pas manipuler un programme

]]> Erreur : un programme est une donnée comme une autre, un
interpréteur en manipule en permanence.

]]> Oui, ce sont des textes finis, énumérables par longueur

]]> Bonne réponse : un programme est une suite finie de caractères
pris dans un alphabet fini. En engendrant les textes par
longueur croissante et en gardant ceux qui sont des programmes
valides, chacun finit par apparaître.

]]> Non, car ils sont en nombre infini et ne peuvent être listés

]]> Erreur : les entiers aussi sont infinis, et on sait les
énumérer sans jamais finir.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q36 : Un problème à un nombre fini de cas Un problème n'a que mille instances possibles. Est-il décidable ?

]]> La décidabilité ne parle que d'existence : un problème fini est
toujours décidable, même quand on ignore quel algorithme le
résout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, s'il faut une infinité d'étapes pour chaque cas

]]> Erreur : la table répond en un nombre fini d'étapes, quel que
soit le cas.

]]> Non, il peut être indécidable comme le problème de l'arrêt

]]> Erreur : l'indécidabilité exige une infinité d'instances ; avec
mille cas, la table existe.

]]> Oui, seulement si les mille réponses sont connues aujourd'hui

]]> Erreur : la décidabilité est l'existence d'un algorithme, pas
le fait de le connaître.

]]> Oui, une table des mille réponses constitue un algorithme

]]> Bonne réponse : un algorithme qui cherche l'instance dans la
table et renvoie la réponse associée termine toujours. Il
existe, même si personne ne connaît encore son contenu.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q37 : Plus de fonctions que de programmes Les programmes forment un ensemble dénombrable, mais l'ensemble des
fonctions des entiers vers les entiers ne l'est pas. Qu'en
déduit-on ?

]]> L'argument de dénombrement prouve l'existence de fonctions non
calculables sans en exhiber une ; le problème de l'arrêt en donne
un exemple explicite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Rien, deux ensembles infinis ayant toujours la même taille

]]> Erreur : il existe des infinis de tailles différentes, c'est
précisément le point.

]]> Que chaque programme calcule plusieurs fonctions à la fois

]]> Erreur : un programme calcule une seule fonction ; le
raisonnement va dans l'autre sens.

]]> Que les fonctions non calculables sont en nombre fini

]]> Erreur : elles sont au contraire infiniment plus nombreuses que
les calculables.

]]> Qu'il existe des fonctions qu'aucun programme ne calcule

]]> Bonne réponse : chaque programme calcule au plus une fonction.
Avec moins de programmes que de fonctions, certaines fonctions
ne sont calculées par aucun programme.

]]>